Задача 53861 Как найти значение выражения...
Условие
Решение
Все решения
Пусть
[m]arcsin\frac{5}{13}=\alpha[/m]
[m]arccos0,8=\beta[/m]
Тогда вопрос заключается в том, чтобы найти
[m]sin(\alpha+\beta)[/m],если
[m]arcsin\frac{5}{13}=\alpha[/m] и [m]arccos0,8=\beta[/m]
По формуле:
[m]sin(\alpha+\beta)=sin \alpha\cdot cos\beta+cos\alpha\cdot sin\ beta[/m]
[m]arcsin\frac{5}{13}=\alpha[/m] ⇒ [m]sin\alpha=\frac{5}{13}[/m] и[red] [m]\alpha \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}][/m][/red]
[m]arccos 0,8=\beta[/m]⇒[m] cos \beta=0,8[/m] и [green][m]\beta \in [0;\pi ][/m][/green]
Так как [m] sin^2\alpha+cos^2\alpha=1[/m] ⇒ [m]cos^2\alpha=1- sin^2\alpha=1-(\frac{5}{13})^2=\frac{144}{169}[/m]
[m]cos\alpha=\pm\frac{12}{13}[/m] и так как [red][m]\alpha \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}][/m][/red], это четвертая и первая четверти,
косинус имеет знак +,
получаем:
[m]cos\alpha=+\frac{12}{13}[/m]
Аналогично
Так как [m] sin^2\beta+cos^2\beta=1[/m] ⇒ [m]sin^2\beta=1- cos^2\beta=1-(0,8)^2=1-0,64=0,36[/m]
[m]sin\beta=\pm 0,6[/m] и так как [green][m]\beta \in [0;\pi] [/m][/green], это первая и вторая четверти, синус имеет знак +
получаем :
[m]sin\beta=+ 0,6[/m]
Подставляем найденные значения в формулу и получаем ответ:
[m]sin(\alpha+\beta)=\frac{5}{13}\cdot 0,8+\frac{12}{13} \cdot 0,6=\frac{40}{130}+\frac{72}{130}=\frac{112}{130}=\frac{56}{65}[/m]
О т в е т. [m]sin(arcsin\frac{5}{13}+arccos 0,8)=\frac{56}{65}[/m]