Задача 53668 При каких значениях параметра а...

5f5f7f31116bb85615e04ab0

26.09.2020 18:06:51

При каких значениях параметра а уравнение

(a+1)x^2-2(a-3)x+a-1 = 0

имеет единственное решение, большее или равное (-1)?

5f3ea7e3faf909182968ddd9

26.09.2020 18:27:31

★

1)
Если a+1=0 ⇒[b] a=-1[/b]

уравнение принимает вид:
8x-2=0

x=1/4

1/4 ≥ -1

2)
Если a+1 ≠ 0 ⇒ a ≠ -1

квадратное уравнение имеет один корень, если
D=0

D=(2(a-3))^2-4*(a+1)*(a-1)=4a^2-24a+36-4a^2+4=40-24a

40-24a=0 ⇒ [b] a=5/3[/b]
Уравнение имеет один корень

x=-4/9

(-4/9) ≥ -1

3)
Если квадратное уравнение имеет два корня, но один из корней не удовлетворяет

требованию: x ≥ 1

D > 0 ⇒ 40-24a> 0 ⇒ [b]a < 5/3[/b]


Если (a+1)>0, графиком квадратного трехчлена служит парабола, ветви которой направлены вверх
Парабола пересекает ось Ох в двух точках, одна из которых расположена правее точке х=-1

Это определяется условиями

[m]\left\{\begin{matrix}a < \frac{5}{3}\\ a >-1\\ f(-1) <0 \end{matrix}\right.[/m]

ИЛИ

если (a+1)<0, графиком квадратного трехчлена служит парабола, ветви которой направлены вниз
Парабола пересекает ось Ох в двух точках, одна из которых расположена правее точке х=-1

Это определяется условиями
[m]\left\{\begin{matrix}a < \frac{5}{3}\\ a<-1\\ f(-1) >0 \end{matrix}\right.[/m]

т.е произведение

(a+1)*f(-1) <0

f(-1)=(a+1)*(-1)^2-2*(a-3)*(-1)+a-1=a+1+2a-6+a-1=4a-6

(a+1)*(4a-6) <0 ⇒ -1 < a < 3/2

С учетом [m]a < \frac{5}{3}[/m]

-1 < a < [m] \frac{5}{3}[/m]




О т в е т.{-1} U (-1; [m] \frac{5}{3}[/m]) U{ [m] \frac{5}{3}[/m]}=[-1; [m] \frac{5}{3}[/m]]