✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 530 Решить уравнение для всех a

УСЛОВИЕ:

Решить уравнение для всех a 25^x+a^2(a-1)5^x-a^5=0

РЕШЕНИЕ:

1. Делаем замену t = 5^x, получаем квадратное уравнение относительно t:
t^2 + a^2*(a-1)*t - a^5 = 0

2. Дискриминант:
D = a^4*(a-1)^2+4*a^5 = a^4*(a^2-2*a+1+4a) = a^4*(a^2+2a+1) =
= a^4*(a+1)^2 = (a^2*(a+1))^2, всегда больше или равен нулю.

3. Решения относительно t:
t1 = (-a^2*(a-1)-a^2*(a+1))/2 = -a^2*(a-1+a+1)/2 = -a^3
t2 = (-a^2*(a-1)+a^2*(a+1))/2 = -a^2*(a-1-a-1)/2 = a^2

4. Вернемся к первоначальной замене:
5^x = t
Значение показательной функции может быть только строго положительным.

Решение 5^x = -a^3 имеет место при
-a^3 > 0
a^3 < 0
a < 0.
И в этом случае x = log5(-a^3)

Решение 5^x = a^2 имеет место при
a^2 > 0
a не равно 0.
И в этом случае x = log5(a^2)

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

a < 0: x = log5(-a^3), x = log5(a^2); a = 0: ?; a > 0: x = log5(a^2)

Добавил slava191, просмотры: ☺ 2777 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователей

Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 51708
Выделим полные квадраты:

(sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(cosx+\frac{\sqrt{3}}{2})^2=0

Cумма двух неотрицательных чисел равна 0 тогда и только тогда когда каждое из них равно 0:

\left\{\begin{matrix} sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0\\ cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}=0 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} sin2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} 2x=(-1)^{k}(-\frac{\pi}{3})+\pi k , k\in Z\\ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z \end{matrix}\right.

Запишем ответ первого уравнения в виде двух ответов

\left\{\begin{matrix} 2x=(-\frac{\pi}{3})+2\pi k; 2x=(-\frac{2\pi}{3})+2\pi k , , k\in Z \\ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z \end{matrix}\right.


\left\{\begin{matrix} x=(-\frac{\pi}{6})+\pi k; x=(-\frac{\pi}{3})+\pi k , , k\in Z \\ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z \end{matrix}\right.


О т в е т. \frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z


б)
\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{17\pi}{6};
\frac{5\pi}{6}+4\pi=\frac{29\pi}{6};

✎ к задаче 51693
S сеч=2rh;
по условию 2rh=30, отсюда r=15/h
S пол=2πrh+2πr^2
Из условия задачи следует 48π=2π(rh+r^2), или 24=rh+r^2
Решим это уравнение подставив вместо r=15/h
225/h^2=9, отсюда 15/h=3 , или h=5.
Ответ: 5.
✎ к задаче 51702
Из условия задачи следует,что 0,1a=2,43 ; откуда a=24,3
Среднее арифметическое получаем :(24,3+25,7)/2=50/2=25.
Ответ: 25.
✎ к задаче 51681
\left\{\begin{matrix} x>0;x\neq 1\\ x-2>0; x-2\neq 1 \\log^2_{x}(x-2)-log^2_{x-2}(x)\leq 0 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} x>0;x\neq 1\\ x>2; x\neq 3 \\(log_{x}(x-2)-log_{x-2}(x))(log_{x}(x-2)+log_{x-2}(x))\leq 0 \end{matrix}\right.

log_{x}(x-2)=\frac{1}{log_{x-2}x}


\left\{\begin{matrix} x>2\\ x\neq 3 \\(\frac{1}{log_{x-2}(x)}-log_{x-2}(x))(\frac{1}{log_{x-2}(x)}+log_{x-2}(x))\leq 0 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} x>2\\ x\neq 3 \\\frac{1-log^2_{x-2}(x)}{log_{x-2}(x)}\cdot \frac{1+log^2_{x-2}(x))}{log_{x-2}(x)}\leq 0 \end{matrix}\right.

При x >2; x ≠ 3

1+log^2_{x-2}x >0

log^2_{x-2}x >0

поэтому неравенство сводится к неравенству:

1-log^2_{x-2}x ≤ 0

log^2_{x-2}x -1 ≥ 0

(log_{x-2}x-1)( log_{x-2}x+1) ≥ 0

__+___ [1-sqrt(2)] ____ [1+sqrt(2)] __+_

C учетом x >2; x ≠ 3 получаем ответ:

[1+sqrt(2);3)U(3;+ ∞ )
✎ к задаче 51694