Задача 50522 а) Решить уравнение sin x / (cos x + 1)...

kristina333

2020-05-17 18:35:06

а) Решить уравнение sin x / (cos x + 1) = 1 - cos x.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ -5Pi/2 , -Pi ].

xacku13052020

2020-05-17 20:01:10

★

Решить уравнение sinх :(cosх+1)=1-cosх.
Указать корни уравнения принадлежащие промежутку -5π/2 ≤ х ≤ -π.
Объяснение.
а)ОДЗ :cosх ≠ -1 , х ≠ π+2πn ,n ∈ Z
Умножим ое ччасти уравнения на (cosх+1). В левой части произойдет сокращение , а в правой-формула разности квадратов. Получим :
sinх=1-cos²х,
cos²х+sinх–1=0
(1–sin²х) +sinх–1=0
1–sin²х+ sinх–1=0
sin²х- sinх=0 ,
sinх( sinх-1)=0
sinх=0 или sinх=1
х=πк ,к∈ Z или х=π/2+2πm m∈ Z
Учитывая для х=πк , что х ≠ π+2πn , получаем х=2πк
Итак х=2πк к∈ Z , х=π/2+2πm m∈ Z
б)Отберем корни из промежутка -5π/2 ≤ x ≤ -π
1)Для х=2πк
-5π/2 ≤ 2πк ≤ -π |:2π
-5/4 ≤ к ≤ -1/2 ⇒
к=-1 , х=2π*(-1)=-2π.
2)Для х=π/2+2πm
-5π/2 ≤ π/2+2πm ≤ -π |-π/2
-3π ≤ 2πm ≤ -1,5π |:2π
-1,5 ≤ m ≤ -0,75
m=-1 , х=π/2+2π(-1)=-3π/2
Итак -2π , -3π/2