Задача 50522 а) Решить уравнение sin x / (cos x + 1)...

kristina333

17 мая 2020 г. в 18:35

а) Решить уравнение sin x / (cos x + 1) = 1 – cos x.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ –5π/2 , –π ].

xacku13052020

17 мая 2020 г. в 20:01

★

Решить уравнение sinх :(cosх+1)=1–cosх.
Указать корни уравнения принадлежащие промежутку –5π/2 ≤ х ≤ –π.
Объяснение.
а)ОДЗ :cosх ≠ –1 , х ≠ π+2πn ,n ∈ Z
Умножим ое ччасти уравнения на (cosх+1). В левой части произойдет сокращение , а в правой–формула разности квадратов. Получим :
sinх=1–cos²х,
cos²х+sinх–1=0
(1–sin²х) +sinх–1=0
1–sin²х+ sinх–1=0
sin²х– sinх=0 ,
sinх( sinх–1)=0
sinх=0 или sinх=1
х=πк ,к∈ Z или х=π/2+2πm m∈ Z
Учитывая для х=πк , что х ≠ π+2πn , получаем х=2πк
Итак х=2πк к∈ Z , х=π/2+2πm m∈ Z
б)Отберем корни из промежутка –5π/2 ≤ x ≤ –π
1)Для х=2πк
–5π/2 ≤ 2πк ≤ –π |:2π
–5/4 ≤ к ≤ –1/2 ⇒
к=–1 , х=2π·(–1)=–2π.
2)Для х=π/2+2πm
–5π/2 ≤ π/2+2πm ≤ –π |–π/2
–3π ≤ 2πm ≤ –1,5π |:2π
–1,5 ≤ m ≤ –0,75
m=–1 , х=π/2+2π(–1)=–3π/2
Итак –2π , –3π/2