Задача 47213 ...

fufeue

2020-04-15 15:24:04

y ′ = y + e^x , y(0) = 2 решить дифференциальнoe уравнение

vk397114329

2020-04-15 16:18:48

★

y'=y+e^x .y(0)=2
Это линейное уравнение.
Положим y=uv. тогда y'=u'v+uv' и данное уравнение принимает вид
u'v+uv'-uv=e^x или u'v+u(v'-v)=e^x (*)
Решаем уравнение v'-v=0. dv/dx=v. dx=dv/v. Отсюда x=lnv Получаем
частное решение v=e^x . Далее подставляя v в уравнение (*)
получаем u'e^x=e^x; или u'=1, du=dx, отсюда u=x+c
Итак искомое общее уравнение y=uv, или y=(x+c)e^x
Частное решение уравнения , удовлетворяющее заданным начальным условиям y(0)=2 : 2=(о+с)e^0, отсюда c=2, получаем
y=(x+2)e^x.