Задача 75269 ...
Условие
и вектор x = {0,−2, 3} заданы в базисе e1, e2, e3. Найти матрицу оператора A и образ A x вектора x в базисе f1 = e1 − e2, f2 = e1 + e2, f3 = e1 + e2 − e3.
-1 -3 0
0 -1 0
2 0 1
Ответ должен быть:
[[3/2,-1/2,-1/2,
9/2,1/2,-1/2 ,
-2,-2,1]]
[2,7,-3]
Решение
т.е
[m]T=\begin {bmatrix} 1&1&1\\-1&1&1\\0&0&-1\end {bmatrix}[/m]- матрица перехода
Матрица перехода состоит из координат векторов нового базиса, записанных по столбцам
от базиса [m]\begin {bmatrix} \vec{e_{1}}&\vec{e_{2}}&\vec{e_{3}}\end {bmatrix}[/m] к базиcy [m]\begin {bmatrix} \vec{f_{1}}&\vec{f_{2}}&\vec{f_{3}}\end {bmatrix}[/m]
[m]A=\begin {bmatrix} 1&-3&0\\0&-1&0\\2&0&1\end {bmatrix}[/m]- задана в базисе [m]\begin {bmatrix} \vec{e_{1}}&\vec{e_{2}}&\vec{e_{3}}\end {bmatrix}[/m]
[m]A`[/m] - матрица в новом базисе [m]\begin {bmatrix} \vec{f_{1}}&\vec{f_{2}}&\vec{f_{3}}\end {bmatrix}[/m]
Тогда
[m]A`=T^{-1}\cdot A\cdot T[/m]
[m]T^{-1}=\begin {bmatrix}0,5&-0,5&0\\ 0,5&0,5&1\\0&0&-1\end {bmatrix} [/m] (см вычисление на скрине)
[m]A`=\begin {bmatrix}0,5&-0,5&0\\ 0,5&0,5&1\\0&0&-1\end {bmatrix} \cdot \begin {bmatrix}1&-3&0\\0&-1&0\\2&0&1\end {bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} 1&1&1\\-1&1&1\\0&0&-1\end {bmatrix} =...[/m] умножайте матрицы
[m]=\begin {bmatrix}1,5&-0,5&-0,5\\ 4,5&0,5&-0,5\\-2&-2&-1\end {bmatrix}[/m]
vector{x}=(0;-2;3)
X`=T^(-1) X
пусть в новом базисе вектор
vector{x}=(x_(1);x_(2);x_(3))
[m]\begin {bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0,5&-0,5&0\\ 0,5&0,5&1\\0&0&-1\end {bmatrix} \cdot\begin {bmatrix}0\\ -2\\3\end {bmatrix} [/m] ⇒
[m]\begin {bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}1\\2\\-3\end {bmatrix} [/m] - координаты вектора vector{x} в новом базисе
