Задача 57838 Решите линейные ДУ 1) y’+2y=х ...
Условие
1) y’+2y=х
математика колледж
374
Решение
★
y`+p(x)*y=q(x)
p(x)=2
q(x)=x
Решение y находим в виде произведения u*v
y=u·v
Находим
y`=u`·v+u·v`
Подставляем в уравнение:
u`·v+u·v`+2·u·v=x
u`·v+u(v`+2·v)=x
Выбираем функцию v так,чтобы
1)v`+2·v=0
тогда
u`·v+u*0=x⇒
2)u`·v=x
Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
1)
v`+2*v=0 ⇒ dv/dx=-2*v ⇒ dv/v=-2*dx ⇒ ∫ dv/v=-2 ∫ dx
lnv=-2x
v=e^(-2x)
2)
u` *e^(-2x)=x
du=x * e^(2x) dx
u= ∫ x*e^(2x)dx= интегрируем по частям:
u=(1/2)x*e^(2x)-(1/4)e^(2x) + C
О т в е т. [b]y=u*v=(1/2)x-(1/4) + C*e^(-2x)[/b]
