Задача 55376 ...
Условие
Решение
Уравнение касательной к кривой [m] y=f(x) [/m] в точке [m](x_{o};f(x_{o}))[/m] имеет вид:
[red][m] y-f(x_{o})=f`_(x_{o})\cdot (x-x_{o})[/m][/red]
По условию касательная проходит через точку (2;-1)
Значит, её координаты удовлетворяют уравнению
Подставляем [m]x=2; y=-1[/m]
[m] -1-f(x_{o})=f`_(x_{o})\cdot (2-x_{o})[/m] (#)
Геометрический смысл производной в точке:
[m] f`_(x_{o})=k[/m]_(касательной) в точке [m](x_{o};f(x_{o}))[/m]
[m] f`_(x_{o})=\frac{1}{2\cdot f(x_{o})}[/m]
[green]Это дифференциальное уравнение???[/green]
Надо ж хотя бы написать тему, в какой дана эта задача???
[m] y`=\frac{1}{2y}[/m]
[m]ydy=\frac{1}{2}dx[/m] ⇒ [m] ∫ ydy=\frac{1}{2} ∫ dx[/m] ⇒ [m]\frac{y^2}{2} =\frac{x}{2} +C_{1}[/m] ⇒
[red][m]y^2=x+C[/m][/red] ⇒ [red][m]f^2(x_{o})=x_{o}+C[/m][/red]
Подставляем в уравнение (#) :
[m] -1-f(x_{o})=\frac{1}{2\cdot f(x_{o})}\cdot (2-x_{o})[/m] ⇒
[red][m]-2f(x_{o})-2f^2(x_{o})=2-x_{o}[/m][/red]
Объединить это все.
