Задача 33674 Решить интеграл...

nashipitsina

2019-02-17 23:28:26

Решить интеграл
dx(2x-(arcsinx)^(1/2))/(1-x^2)^(1/2)

sova

2019-02-18 09:27:25

Почленно делим каждое слагаемое числителя на знаменатель.

2x/sqrt(1-x^2) - sqrt(arcsinx)/sqrt(1-x^2)

Интеграл от суммы ( разности) равен сумме ( разности) интегралов.

Cчитаем первый интеграл

∫ 2xdx/sqrt(1-x^2)

Замечаем, что в числителе производная от x^2
поэтому заменим
1-x^2=u
du=(1-x^2)`dx=-2xdx ⇒ 2xdx =-du

∫ 2xdx/sqrt(1-x^2)= - ∫ du/sqrt(u)=- 2sqrt(u)=-2sqrt(1-x^2)

Второй интеграл

∫ sqrt(arcsinx)dx/sqrt(1-x^2)

Замена
u=arcsinx
du=dx/sqrt(1-x^2)

∫ sqrt(arcsinx)dx/sqrt(1-x^2)= ∫ sqrt(u)du=

=∫ u^(1/2)du=u^((1/2)+1)/((1/2)+1)=u^(3/2)/(3/2)=(2/3)∛(u^2)=

=(2/3)∛(arcsin^2x)

Итак,
[b] ∫ (2x-arcsinx)dx/sqrt(1-x^2)[/b]=

= ∫ 2xdx/sqrt(1-x^2) - ∫ sqrt(arcsinx)dx/sqrt(1-x^2)=

=[b]-2sqrt(1-x^2) - (2/3) ∛(arcsin^2x) + C[/b]