а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости у
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой - точка М, а основание - сечение данной призмы плоскостью у.
Из прямоугольного треугольника B1MA1 находим по теореме Пифагора B1M = 3*sqrt(3). Из прямоугольного треугольника B1QS находим по теореме Пифагора B1Q =sqrt(3)/2. Тогда MQ = B1M - B1Q = (5*sqrt(3))/2.
Кроме того PB = (3*sqrt(3))/2 (половина высоты BE правильного треугольника ABC). Треугольники MQT и PTB подобны по двум углам (углы PTB и MTQ равны как вертикальные, углы TPB и MQT равны как накрест лежащие при параллельных прямых MQ, PB и секущей PQ). Их коэффициент подобия равен k =MQ/PB = 5/3.
Далее из прямоугольного треугольника MBE находим MB = sqrt(BE^2+ME^2) = 6. Используя доказанное подобие, находим TB = MB/(1+k) = 9/4. Аналогично, PQ = 2*sqrt(3). Следовательно, TP = 2sqrt(3)/(1+k) = 3sqrt(3)/4.
Проверяем, является ли треугольник TPB прямоугольным. Для этого используем теорему, обратную теореме Пифагора. TP^2 = 27/16, TB^2 = 81/16}, BP^2 = 27/4. Получаем:
TP^2+TB^2=27/16+81/16=27/4=BP^2.
Итак, треугольник TPB прямоугольный с прямым углом T. Доказано, что MB ⊥ PQ. По теореме о трёх перпендикулярах MB ⊥ DK . Получается, что MB перпендикулярен двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости DKS, а следовательно перпендикулярен этой плоскости.
б)Сечение DLSK — трапеция, площадь которой равна:
S=1/2*(LS+DK)*PQ=1/2*(1+3)*2sqrt(3)=4sqrt(3).
Тогда объём искомой пирамиды равен:
V=1/3*S*MT=1/3*4sqrt(3)*15/4=5sqrt(3).
Ответ: 5sqrt(3)