Задача 9143 В правильной треугольной пирамиде SАВС...

AleksandraBogatova

15.05.2016

В правильной треугольной пирамиде SАВС точки К, N принадлежат ребру SA, точка М – ребру SВ, а L принадлежит ребру SC, причём АК= КN=NS, SM : МВ = 1:3, SL:LC= 2:1.

а) Докажите, что перпендикуляр МН, опущенный на апофему боковой грани ASC делит ее в отношении 1:5, считая от вершины S.

б) Найдите отношение объёма пирамиды KLMN к объёму пирамиды SАВС.

kisa13256

17.05.2016

★

Из точки O в плоскости треугольника ABC провести прямую | | AB , точки пересечения с AC и BC пусть D и E соответственно ( D∈AC E∈ BC) ;затем из точек D и E проведем DM || SC в плоскости ASC и E N || SC в плоскости BSC .
M∈ [AS] ;N∈SB.
DENB нужное сечение (параллелограмма).
DE =x;
DM =y
(используем свойство точки O как точку пересечения медиан треугольника и подобные треугольники)
a/x =3/2⇒ x =2a/3 ;
b/y =3/1 ⇒y =b/3 .
P=2(x+y) =2(2a/3+b/3) =(2/3)*(2a+b) .