Задача 9122 Лодка массой м под парусом развила...

ам

14 мая 2016 г.

Лодка массой м под парусом развила скорость v0 как будет убывать во времени скорость движения лодки по стоячей воде после спуска паруса, если сила сопротивления воды пропорциональна квадрату скорости лодки?

kisa13256

14 мая 2016 г.

★

ma = F
F=–kv
mv`+kv=0 – линейное однородное дифф уравнение с постоянными коэффициентами
его решение ищут в виде
v=С·e^–(k/m)·t
при t=0 v(t=0)=v0=С·e^–(k/m)·0=C
C=v0
ответ v=v0·e(–(k/m)·t) – зависимость скорости от времени
v=0 при t = беск – движение бесконечное время с экспоненциально убывающей скоростью
x(t) = integral [0; t] v(t) dt = integral [0; t] v0·e(–(k/m)·t) dt =(–m/k) v0·e(–(k/m)·t) [0; t] = (–m/k) v0·e(–(k/m)·t) – (–m/k) v0·e(–(k/m)·0) = (m·v0/k)(1–e(–(k/m)·t))
x(t) = (m·v0/k)(1–e(–(k/m)·t))
x(t=беск) = (m·v0/k)(1–e(–(k/m)·беск)) = (m·v0/k)(1–0) = m·v0/k
максимальное расстояние x=m·v0/k достигается при t = беск