Задача 8822 В трапеции ABCD основания AD и BC равны...

larisashakirova

01.05.2016

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 13.

Продолжим стороны АВ и СD до их пересечения в точке D. Угол АЕС=90, т.к. сумма углов ЕАD и EDA равна 90. Рассмотрим треугольники АЕD и ВЕС, они подобны по двум углам (∠ЕСВ=∠ЕDA как соответственные, ∠AED=∠BEC=90). => BE/AE=BC/AD => BE/(13+BE)=12/36 => BE/(13+BE)=1/3 => 3BE=13+BE => 2BE=13 => BE=6,5
Пусть окружность касается прямой CD в точке F, причём точка F может лежать или на стороне или на её продолжении. Отрезок OF перпендикулярен прямой CD как радиус проведённый в точку касания, OA, OB и OF — радиусы.
Треугольник AOB — равнобедренный, OH — высота, следовательно, является медианой и биссектрисой. Четырехугольник OHEF — прямоугольник, потому что все его углы прямые. Откуда: R=OF=HE=HB+BE=6,5+6,5=13

Ответ: 13