Задача 8741 Найдите все значения а, при каждом из...
Условие
Решение
Рассмотрим функцию у=x^2-6x+12+a^2-4a
x0=-b÷2a=6÷2=3 - вершина параболы лежит на прямой х=3,так как х0=3. Ветви параболы направлены вверх,так как а>0.
у0=9-18+12+a^2-4a=a^2-4a+3
То есть значение у0 зависит от параметра а.
Значит, у0 должен быть минимальным из всех возможных (при этом расстояние между нулями функции (х1 и х2) будет максимальным,а значит модуль разности х1 и х2 будет максимальным)
Найдём минимальное значение для функции : у0=а^2-4а+3
Найдём производную: (у0)'=2а-4
Приравняем производную к нулю(найдём критические точки)
2а-4=0
а=2
На промежутке от минус бесконечности до двух производная принимает отрицательные значения,на промежутке от 2 до плюс бесконечности - положительные. Значит, а=2 минимум функции.
Ответ:2