Задача 8733 А)Докажите, что в правильной ...

Julia_Trusova

27.04.2016

А)Докажите, что в правильной треугольной призме АВСА1В1С1 прямая, проходящая через середины отрезков АА1 и ВС1, перпендикулярна этим отрезкам.
Б)1)Т-середина АА1, К-середина ВС1
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.

А)Треугольник ТАВ равен треугольнику ТА1С1 (по двум катетам),
=>ТВ=ТС1
Значит, треугольник ВТС1-равнобедренный, тогда медиана ТК является высотой.
=>ТК⊥ВС1

2)Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через точку Т, параллельно (АВС)
МТЕ-искомое сечение и тогда, М-середина ВВ1, Е-середина СС1. Значит , данное сечение приходит и через середину К отрезка СС1 (МE||BC)
Прямая ТК лежит в плоскости (МТЕ)
Так как АА1⊥(АВС), а (АВС)||(МТЕ), то АА1⊥(МТЕ)
=>АА1⊥ТК. Ч.т.д.

Б) Расстояние между прямыми АА1 и ВС1(скрещивающимися) это общий перпендикуляр, то есть расстояние между прямыми АА1 и ВС1 это длина отрезка ТК.

По теореме Пифагора из треугольника ВС1С:
ВС1=sqrt(1+1)=sqrt(2)
BK=sqrt(2)/2

По теореме Пифагора из треугольника TAB:
TB=sqrt(1+1/4)=sqrt(5)/2

По теореме Пифагора из треугольника TBK:
TK=sqrt(5/4-2/4)=sqrt(3)/2


Ответ: sqrt(3)/2