Задача 8726 Дан треугольник АВС со сторонами АВ=5,...

Julia_Trusova

27 апреля 2016 г.

Дан треугольник АВС со сторонами АВ=5, ВС=9 и АС=10.

А)Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне ВС.
Б)Найдите биссектрису треугольника АВС , проведенной из вершины А.

А)OL–радиус вписанной окружности
OL=S/p=(2S)/P =(2S)/(5+9+10)=(2S)/24(p–полупериметр, P–периметр)
M–точка пересечения медиан треугольника АВС,
МЕ–расстояние от точки пересечения медиан до стороны ВС
МЕ=1/3·АН, где АН–высота треугольника АВС(АН⊥ВС)
АН=(2S)/BC=(2S)/9 (так как S=1/2·AH·BC)
ME=1/3·(2S)/9=(2S)/27
Таким образом,OL≠ME, значит, прямая ОМ не может быть параллельна ВС.
=>В условии опечатка

Б)Пусть АН=у, ВН=х, тогда НС=9–х

По теореме Пифагора из треугольника АВН:
ВН²+AH²=AB²
x²+y²=25
y²=25–x²

По теореме Пифагора из треугольника АCН:
AН²+CH²=AC²
y²+(9–x)²=100
25–x²+81–18x+x²=100
–18x=–6
х=1/3

у=√25–1/9=√(224)/9=4√14/3

Значит, АН=4√14/3, ВН=1/3, тогда НС=9–1/3=26/3

S(ABC)=1/2·4√14/3·9=6√14
r=2·6√14/24=√14/2

Пусть BL=BT=t, LC=CK=9–t, KA=AT=10–(9–t)=10–9+t=1+t, BT=5–(1+t)=5–1–t=4–t
t=4–t
2t=4
t=2
AK=1+2=3

По теореме Пифагора из треугольника АОК:
АО=√OK²+AK²=√14/4+9=√50/9=5√2/3


Ответ: 5sqrt(2)/3