Задача 8575 В равнобокую трапецию вписана...

slava191

18.04.2016

В равнобокую трапецию вписана окружность.

А) Докажите, что диаметр окружности равен среднему геометрическому длин оснований трапеции.

(Средним геометрическим двух положительных чисел а и b называется значение выражения sqrt(ab))

Б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции, если известно, что длины оснований трапеции 8 и 18.

Julia_Trusova

18.04.2016

★

А)NF-диаметр вписанной окружности
Если AB=b, DC=a
То требуется доказать, что NF=sqrt(ab)
DH-высота трапеции, значит DH=NF
Так как трапеция равнобедренная, то AH=(b-a)/2
По свойству касательных:
AF=AM=b/2
MD=DN=a/2
Тогда, AD=b/2+a/2=(b+a)/2
Из треугольника ADH по теореме Пифагора:
DH=sqrt(AD^2-AH^2)=sqrt(((b+a)/2)^2-((b-a)/2)^2)=sqrt((b^2+2ab+a^2-b^2+2ab-a^2)/4)=sqrt(ab)
NF=sqrt(ab)
Что и требовалось доказать

Б)DC=8, AB=18 по условию
Тогда AM=18:2=9
MD=8:2=4
AH=(18-8)/2=5

Треугольник MDG подобен треугольнику ADH(по вум углам):
AD/MD=AH/MG
MG=(MD*AH)/AD
MG=(4*5)/(9+4)=20/13
ME=2*MG+DC=2*20/13+8=40/13+8=144/13

NF=sqrt(8*18)=12

S(MNEF)=S(MNE)+S(MEF)=1/2*NP*ME+1/2*PF*ME=1/2*ME(NP+PF)=1/2*ME*NF=1/2*144/13*12=1728/26=864/13

Ответ:864/13