Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 8356 Дана правильная пирамида SABC, у которой...

Условие

Дана правильная пирамида SABC, у которой сторона основания AB=6, боковое ребро SA=9. Сечение пирамиды, параллельное ребрам АС и SB, является квадратом.

а)Докажите, что сечение делит ребра AS, CS, CB и AB в равном отношении.
б)Найдите угол между диагональю этого квадрата и плоскостью основания пирамиды.

математика 10-11 класс 21381

Решение

SA=SB=SC=9, AB=AC=BC=6
PH||FE||AC, PF||HE||SB
FPHE-квадрат

а)ΔABC~ΔFBE по 2 углам(∠ABC-общий, ∠BFE=∠BAC – как соответственные)
=>АВ/FB=BC/BE=AC/FE
ΔASC~ΔPSH по 2 углам(∠ASC-общий, ∠SAC=∠SPH – как соответственные)
=>АS/PS=SC/SH=AC/PH
FE=PH
=> АВ/FB=BC/BE= АS/PH=SC/SH
(FB+AF)/FB=(BE+EC)/BE= (PS+AP)/PS=(SH+HC)/SH
1+AF/FB=1+EC/BE= 1+AP/PS=1+HC/SH
AF/FB=EC/BE=AP/PS=HC/SH
Что и требовалось доказать.

б)Вершина квадрата Н ,лежащая на ребре SC, равно удалена от рёбер SA (также и SB) и ВС, поэтому она лежит на биссектрисе угла CBS, т.е. ВН-биссектриса
Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилегающим сторонам.
ВС:SB=CH:HS=6:9=2:3
Поэтому сторона SC разделится на 5 частей: СH=2/5*CS=2/5*9=18/5=3,6.
Это и есть длина стороны квадрата.

Теперь переходим к диагонали этого квадрата FH.
FH=sqrt(2*(3,6)^2)= 3,6*sqrt(2)
H находится на боковом ребре на расстоянии 2/5 его длины. Значит, и по высоте будет находиться на 2/5 высоты пирамиды.HO⊥(АВС)
Вершина S правильной пирамиды проецируется в точку K-точку пересечения медиан треугольника основания (SK-высота пирамиды)
BK= 2/3*BM (BM- высота и медиана).
ВМ=sqrt(36-9)=sqrt(27)=3sqrt(3)
BK= 2/3*3sqrt(3) = 2sqrt(3)
Из ΔSKB: SK = sqrt(81-12)=sqrt(69)
Тогда НО=2/5* sqrt(69)
Из ΔFHO: sin∠HFO=HO/FH=(2/5* sqrt(69))/( 3,6*sqrt(2))= sqrt(69)/( 9sqrt(2)).
∠HFO=arcsin sqrt(69)/( 9sqrt(2)).


Ответ: arcsin sqrt(69)/(9sqrt(2))

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК