Задача 8229 ...

Julia_Trusova

28 марта 2016 г.

В треугольнике ABC‍ проведены биссектрисы AA‍1‍ и CC‍1,‍ K и М —‍ основания перпендикуляров, опущенных из точки B‍ на прямые AA‍1‍ и CC‍1.‍

а) Докажите, что MK||AC.‍

б) Найдите площадь треугольника KBM, если известно, что AC=10, BC=6, AB=8.

а) Продолжим отрезки BM‍ и BK‍ до пересечения с прямой AC‍ в точках E‍ и F‍ соответственно.Высота AK треугольника ABF является его биссектрисой, значит, этот треугольник — равнобедренный, поэтому AK —‍ его медиана, т. е. K —‍ середина отрезка BF.‍
Аналогично М–середина отрезка ВЕ.
Отрезок MK —‍ средняя линия треугольника EBF,‍ поэтому MK||EF.‍ Следовательно, MK||AC.‍
б)Пусть ∠BAA1=∠A1AC=α,
∠BCC1=∠C1CA=β
Из △АВС по теореме обратной теореме Пифагора:
8²+6²=10²
100=100
⇒ △АВС–прямоугольный, ∠АВС=90°.
⇒ ∠BAC+∠BCA=90°, тогда α+β=45°.
∠MOK=∠AOC=180°–45°=135°
Из MBKO: ∠MBK=360°–180°–135°=45°.
Из △АВС : cos(2α)=8/10=0,8,
тогда sinα=√(1–cos(2α))/2=√(1–0,8)/2=1/√10.
Из △ABK: BK=AB·sinα=8·1/√10=8/√10.
Из △АВС : cos(2β)=6/10=0,6,
тогда sinβ=√(1–cos(2β))/2=√(1–0,6)/2=√2/√10.
Из △BMC: BM=BC·sinβ=6·√2/√10.
S(MBK)=1/2·BM·BK·sin45°=1/2·6·√2/√10·8/√10·√2/2=2,4



Ответ: 2,4