Задача 80979 ...

6aa149c60b49733f2b80700d

9/9/2026 12:01:50 PM

тригонометрическое уравнение, фотография ниже. я решил букву а, но не знаю, как посчитать корни на окружности. объясните, пожалуйста. желательно графически
a) x = π/2 + πk, x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z

626fab9a354ab65fb2f43abb

9/9/2026 3:28:26 PM

★

а) [m]\sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{\pi}{4}) + 2\sin^2 x = \sin x + 2[/m]
Разложим синус суммы на сумму:
sin (a + b) = sin a*cos b + cos a*sin b
Заметим, что [m]\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
[m]\sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{4}[/m]
[m]\sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
[m]\sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cdot (\sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})[/m]
[m]\sqrt{2} \cdot \sin (x + \frac{\pi}{4}) = \sin x + \cos x[/m]
Подставляем в уравнение:
[m]\sin x + \cos x + 2\sin^2 x = \sin x + 2[/m]
[m]\cos x + 2\sin^2 x = 2[/m]
Применим основное тригонометрическое тождество: [m]\sin^2 x + \cos^2 x = 1[/m]
[m]\cos x + 2 - 2\cos^2 x = 2[/m]
[m]\cos x - 2\cos^2 x = 0[/m]
[m]\cos x \cdot (1 - 2\cos x) = 0[/m]
1) [m]\cos x = 0[/m]
[m]x1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot k;\ k ∈ Z[/m]
2) [m]1 - 2\cos x = 0[/m]
[m]\cos x = \frac{1}{2}[/m]
[m]x2 = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot k = ± \frac{2\pi}{6} + \frac{12 \pi \cdot k}{6};\ k ∈ Z[/m]

б) Чтобы найти, какие из корней входят в указанный промежуток, нужно брать разные значения k и подставлять их в x1 и в x2.
У нас промежуток [m][2\pi;\ \frac{7 \pi}{2}] = [\frac{4 \pi}{2};\ \frac{7 \pi}{2}] = [\frac{12 \pi}{6};\ \frac{21 \pi}{6}][/m]
Берем в 1) пункте k1 = 2, k2 = 3.
Получаем [m]x1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 2 = \frac{5 \pi}{2};\ x2 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 3 = \frac{7 \pi}{2}[/m]
Во 2) пункте берем k = 1.
Получаем [m]x3 = \frac{2\pi}{6} + \frac{12 \pi}{6} = \frac{14 \pi}{6} = \frac{7 \pi}{3}[/m]
Если взять k = 2, то получится:
[m]x = \frac{2\pi}{6} + \frac{12 \pi \cdot 2}{6} = \frac{26 \pi}{6} > \frac{21 \pi}{6}[/m]
Уже не подходит.

Ответ: а) [m]x1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot k;\ k ∈ Z;\ \ \ x2 = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot k;\ k ∈ Z[/m]
б) [m]x1 = \frac{5 \pi}{2};\ x2 = \frac{7 \pi}{2};\ x3 = \frac{7 \pi}{3}[/m]
Графически все три корня показаны на рисунке красными точками.
x1 - вверху, x2 - внизу, x3 - на месте точки π/3.