Задача 80976 Даны 2 матрицы, выполните действия ...
Условие
Решение
A = ⎡2 1 −1⎤ ,
⎢2 −1 1⎥ ,
⎣1 0 1⎦
B = ⎡3 6 0⎤ ,
⎢2 4 − 6⎥ ,
⎣1 − 2 3⎦ .
Задано найти
а) AB б) BA в) A⁻¹ г) AA⁻¹ д) A⁻¹A.
───────────────────────────────────────
1. Произведение AB
AB = A·B.
• 1-я строка A на столбцы B
(2,1,−1)·(3,2,1) = 7
(2,1,−1)·(6,4,−2) = 18
(2,1,−1)·(0,−6, 3) = −9
• 2-я строка A = (2,−1,1)
(2,−1,1)·(3,2,1) = 5
(2,−1,1)·(6,4,−2) = 6
(2,−1,1)·(0,−6, 3) = 9
• 3-я строка A = (1,0,1)
(1,0,1)·(3,2,1) = 4
(1,0,1)·(6,4,−2) = 4
(1,0,1)·(0,−6, 3) = 3
AB = ⎡7 18 −9⎤
⎢5 6 9⎥
⎣4 4 3⎦ .
───────────────────────────────────────
2. Произведение BA
BA = B·A.
• 1-я строка B = (3,6,0)
(3,6,0)·(2,2,1) = 18
(3,6,0)·(1,−1,0) = −3
(3,6,0)·(−1,1,1) = 3
• 2-я строка B = (2,4,−6)
(2,4,−6)·(2,2,1) = 6
(2,4,−6)·(1,−1,0) = −2
(2,4,−6)·(−1,1,1) = −4
• 3-я строка B = (1,−2,3)
(1,−2,3)·(2,2,1) = 1
(1,−2,3)·(1,−1,0) = 3
(1,−2,3)·(−1,1,1) = 0
BA = ⎡18 −3 3⎤
⎢ 6 −2 −4⎥
⎣ 1 3 0⎦ .
───────────────────────────────────────
3. Обратная матрица A⁻¹
а) Определитель A
|A| = 2·|−1 1; 0 1| − 1·|2 1; 1 1| + (−1)·|2 −1; 1 0|
= 2(−1) − (2−1) − (−1)(1) = −2 −1 −1 = −4.
|A| ≠ 0 ⇒ A обратима.
б) Матрица алгебраических дополнений C
C = ⎡−1 −1 1⎤
⎢−1 3 1⎥
⎣ 0 −4 −4⎦ .
Adj A = Cᵀ = ⎡−1 −1 0⎤
⎢−1 3 −4⎥
⎣ 1 1 −4⎦ .
в) A⁻¹ = (1/|A|) Adj A = −¼ Adj A:
A⁻¹ = ⎡ 1/4 1/4 0 ⎤
⎢ 1/4 −3/4 1 ⎥
⎣−1/4 −1/4 1 ⎦ .
───────────────────────────────────────
4. Проверка AA⁻¹ и A⁻¹A
Перемножая A и A⁻¹ (или A⁻¹ и A) получаем
AA⁻¹ = A⁻¹A = I₃ =
⎡1 0 0⎤
⎢0 1 0⎥
⎣0 0 1⎦ .
(Подробные умножения показаны для первой строки; остальные аналогичны.)
───────────────────────────────────────
Итоговые ответы
a) AB = ⎡7 18 −9⎤
⎢5 6 9⎥
⎣4 4 3⎦ ;
б) BA = ⎡18 −3 3⎤
⎢ 6 −2 −4⎥
⎣ 1 3 0⎦ ;
в) A⁻¹ = ⎡ 1/4 1/4 0 ⎤
⎢ 1/4 −3/4 1 ⎥
⎣−1/4 −1/4 1 ⎦ ;
г) AA⁻¹ = I₃ ; д) A⁻¹A = I₃ .