Задача 80975 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1 Тема:...
Условие
Тема: Исследование функции с помощью производной
Задания для отчета:
Вариант 1
Найти промежутки возрастания и убывания, экстремумы, промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба для функций
f(x)=4x^3 - 2x^2
f(x)=-x^4 + 2x^2 - 3
Вариант 2
f(x)=x^3 + 3x^2
f(x)=x^4 - 10x^2 + 9
Решение
промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба для функций:
Вариант 1.
1) f(x) = 4x^3 - 2x^2
Критические точки 1 порядка - это точки, в которых первая производная f'(x) = 0
f'(x) = (4x^3 - 2x^2)' = 4*3x^2 - 2*2x = 12x^2 - 4x
f'(x) = 0
12x^2 - 4x = 0
4x*(3x - 1) = 0
x1 = 0; f(x1) = 4*0^3 - 2*0^2 = 0
x2 = 1/3; f(x2) = 4*(1/3)^3 - 2*(1/3)^2 = 4/27 - 2/9 = 4/27 - 6/27 = -2/27
Критические точки делят числовую прямую на промежутки:
(-oo; 0); (0; 1/3); (1/3; +oo)
Проверяем возрастание и убывание функции на этих промежутках.
f'(x) = 12x^2 - 4x
Если f'(x) < 0, то функция убывает. Если f'(x) > 0, то функция возрастает.
f'(-1) = 12*(-1)^2 - 4*(-1) = 12*1 + 4 = 16 > 0
На промежутке (-oo; 0) функция возрастает.
f'(1/4) = 12*(1/4)^2 - 4*1/4 = 12/16 - 1 = 3/4 - 1 = -1/4 < 0
На промежутке (0; 1/3) функция убывает.
f'(1) = 12*1^2 - 4*1 = 12 - 4 = 8 > 0
На промежутке (1/3; +oo) функция возрастает.
Значит, x1 = 0 - точка максимума, x2 = 1/3 - точка минимума.
Критические точки 2 порядка - это точки, в которых вторая производная f''(x) = 0
f''(x) = (12x^2 - 4x)' = 12*2x - 4 = 24x - 4
f''(x) = 0
24x - 4 = 0
24x = 4
x = 4/24 = 1/6; f(x) = 4*(1/6)^3 - 2*(1/6)^2 = 4/216 - 2/36 = 4/216 - 12/216 = -8/216
Критическая точка делит числовую прямую на промежутки:
(-oo; 1/6); (1/6; +oo)
Проверяем выпуклость и вогнутость функции на этих промежутках.
f''(x) = 24x - 4
Если f''(x) < 0, то функция выпукла. Если f''(x) > 0, то функция вогнута.
f''(-1) = 24*(-1) - 4 = -24 - 4 = -28 < 0
На промежутке (-oo; 1/6) функция выпукла.
f''(1) = 24*1 - 4 = 24 - 4 = 20 > 0
На промежутке (1/6; +oo) функция вогнута.
Значит, x1 = 1/6 - точка перегиба.
2) f(x) = -x^4 + 2x^2 + 3
Я не буду расписывать подробно, схема та же самая.
f'(x) = (-x^4 + 2x^2 + 3)' = -4x^3 + 4x
-4x^3 + 4x = 0
-4x*(x^2 - 1) = 0
-4x(x + 1)(x - 1) = 0
x1 = -1; f(-1) = -(-1)^4 + 2*(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
x2 = 0; f(0) = -0^4 + 2*0^2 + 3 = 3
x3 = 1; f(1) = -1^4 + 2(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
Промежутки: (-oo; -1); (-1; 0); (0; 1); (1; +oo)
f'(x) = -4x^3 + 4x
f'(-2) = -4*(-2)^3 + 4*(-2) = -4*(-8) - 8 = 32 - 8 = 24 > 0
На промежутке (-oo; -1) функция возрастает.
f'(-1/2) = -4*(-1/2)^3 + 4*(-1/2) = -4*(-1/8) - 4/2 = -4/8 - 2 = -2,5 < 0
На промежутке (-1; 0) функция убывает.
f'(1/2) = -4*(1/2)^3 + 4*(1/2) = -4*(1/8) + 4/2 = -4/8 + 2 = 1,5 > 0
На промежутке (0; 1) функция возрастает.
f'(2) = -4*2^3 + 4*2 = -4*8 + 8 = -32 + 8 = -24 < 0
На промежутке (1; +oo) функция убывает.
x1 = -1 - точка максимума, x2 = 0 - точка минимума, x3 = 1 - точка максимума.
f''(x) = (-4x^3 + 4x)' = -4*3x^2 + 4 = -12x^2 + 4
-12x^2 + 4 = 0
x^2 = 4/12 = 1/3
x1 = -1/sqrt(3); f(x1) = -(-1/sqrt(3))^4 + 2*(-1/sqrt(3))^2 + 3 = -1/9 + 2/3 + 3 = 3 5/9
x2 = 1/sqrt(3); f(x1) = -(1/sqrt(3))^4 + 2*(1/sqrt(3))^2 + 3 = -1/9 + 2/3 + 3 = 3 5/9
Промежутки: (-oo; -1/sqrt(3)); (-1/sqrt(3); 1/sqrt(3)); (1/sqrt(3); +oo)
f''(x) = -12x^2 + 4
f''(-1) = -12*(-1)^2 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0
На промежутке (-oo; -1/sqrt(3)) функция выпукла.
f''(0) = -12*0 + 4 = 4 > 0
На промежутке (-1/sqrt(3); 1/sqrt(3)) функция вогнута.
f''(1) = -12*1^4 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0
На промежутке (1/sqrt(3); +oo) функция выпукла.
Точки -1/sqrt(3); 1/sqrt(3) являются точками перегиба.
2 Вариант я делать не буду, он точно такой же.