Задача 80974 Решите 14.47 подробно с рисунком...
Условие
Решение
DC = 1 см; CA = CB = sqrt(2); ∠ ACB = 90 °
Найти: ∠ (ABD; ACD)
Решение:
1) CD ⊥ (ABC); BC ⊂ (ABC)
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
⇒ BC ⊥ CD
ВС ⊥ СА
АС ⊂ (ACD); CD ⊂ (ACD); AC ∩ CD = C
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
⇒ ВС ⊥ (ACD) ⇒ ΔADC - ортогональная проекция ΔADB
2) Найдем площади ΔADC и ΔADB
[m]S(ACD)=\frac{1}{2} \cdot \sqrt2 \cdot1=\frac{\sqrt2}{2}[/m] (кв.см)
ΔABC - равнобедренный, прямоугольный
По теореме Пифагора:
АВ =[m] \sqrt(2+2) [/m]= 2 (cм)
СН - высота, медиана ⇒ СН = 1 см
DC ⊥ (ABC) ⇒ CH - проекция DH на (АВС) ⇒ DH ⊥ AB (теорема о трех перпендикулярах)
По теореме Пифагора для ΔHDC:
DH = [m]\sqrt{(1+1)}[/m]= [m]\sqrt2[/m] (см)
[m]S(ADB)=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot1 = \sqrt2[/m](кв.см)
Площадь ортогональной проекции плоской фигуры равна произведению площади самой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
Пусть ∠ (ABD; ACD) = α
S(ADC) = [m]S(ADB)\cdot cos α[/m]
[m]cos α =\frac{\sqrt2}{2\cdot \sqrt2}=\frac{1}{2}[/m]
⇒ α =60 ° 