Задача 80972 Пострить на комплексной плоскости все...
Условие
Решение
Можно извлечь кубический корень:
[m]z= \sqrt[3]{1}[/m]
По формуле Муавра получаем 3 корня:
[m]z^3 = 1 = 1(\cos 0 + i \cdot \sin 0)[/m]
[m]r = 1;\ \phi = 0[/m]
[m]z = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{\phi + 2 \pi \cdot k}{3} + i \cdot \sin \frac{\phi + 2 \pi \cdot k}{3});\ k = 0,\ 1,\ 2[/m]
Получаем 3 корня:
[m]z1 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{0 + 2 \pi \cdot 0}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2 \pi \cdot 0}{3}) = 1(\cos 0 + i \cdot \sin 0) = 1[/m]
[m]z2 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{0 + 2 \pi \cdot 1}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2 \pi \cdot 1}{3}) = 1(\cos \frac{2 \pi}{3} + i \cdot \sin \frac{2 \pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]z3 = \sqrt[3]{1} (\cos \frac{0 + 2 \pi \cdot 2}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2 \pi \cdot 2}{3}) = 1(\cos \frac{4 \pi}{3} + i \cdot \sin \frac{4 \pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
А можно решить с помощью формулы разности кубов.
z^3 = 1
z^3 - 1 = 0
(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0
z1 = 1
Дальше решаем квадратное уравнение:
D = 1 - 4*1*1 = 1 - 4 = -3 = (i*sqrt(3))^2
[m]z2 = \frac{-1 + i \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]z3 = \frac{-1 - i \cdot \sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
Корни получились те же самые.
Решения представлены на рисунке.
Все решения
z³ = 1.
1. Запишем число 1 в тригонометрической форме.
1 = 1·e^{i·0} = 1·e^{i(2πm)}, m ∈ ℤ.
2. Извлечём кубический корень в комплексной форме:
z = (1·e^{i(2πm)})^{1/3} = 1^{1/3}·e^{i(2πm/3)} = e^{i(2πm/3)}, m = 0,1,2.
(m = 3,4,… даёт те же углы, так как период 2π.)
3. Подставляя m = 0,1,2, получаем три попарно различных корня:
m = 0: z₀ = e^{i·0} = 1;
m = 1: z₁ = e^{i·2π/3} = cos120° + i sin120° = −½ + i√3/2;
m = 2: z₂ = e^{i·4π/3} = cos240° + i sin240° = −½ − i√3/2.
4. Геометрическая интерпретация.
• Все корни лежат на единичной окружности |z| = 1 (модуль равен 1).
• Их аргументы: 0°, 120°, 240°. Разность между соседними аргументами 120°, поэтому точки являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность.
5. Построение на комплексной плоскости.
– Точка 1: (1; 0) на положительной части действительной оси.
– Точка 2: (−½; √3/2) – вверх и влево.
– Точка 3: (−½; −√3/2) – вниз и влево.
Соединив их, получаем равносторонний треугольник с центром в начале координат и радиусом 1.
Ответ: корни z³ = 1 — это 1, (−1 + i√3)/2, (−1 − i√3)/2; на комплексной плоскости они образуют вершины равностороннего треугольника на единичной окружности.