Задача 80967 По мотивам задачи Игоря Фёдоровича...

68cc6e2445525b56e490c433

7/30/2026 9:37:46 PM

По мотивам задачи Игоря Фёдоровича Акулича.
Существуют ли два десятизначных числа, для которых их сумма, разность и сумма цифр одного из них являются факториалами?
(В оригинальной задаче речь шла о семизначных числах.)

626fab9a354ab65fb2f43abb

7/31/2026 2:01:12 PM

★

Если написать факториалы натуральных чисел:
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120.
То ясно, что сумма цифр может быть только 6 или 24. А скорее всего, она равна 24.

Дальше. Сумма двух 10-значных чисел равна факториалу.
Ясно, что сумма двух 10-значных чисел будет 10-значной или 11-значной.
12! = 479001600 - 9 цифр - сразу не подходит.
13! = 6227020800 - 10 цифр - подходит.
14! = 87178291200 - 11 цифр - может быть, но надо проверить.
Сумма двух максимальных 10-значных чисел:
9999999999 + 9999999999 = 19999999998 < 14!
Значит, сумма двух 10-значных чисел точно равна 13! = 6227020800
А разность тоже равна факториалу. Это может быть любой факториал от 1! до 12!.
Мне удалось подобрать единственное решение:
{ x + y = 6227020800 = 13!
{ x - y = 120 = 5!
x = 3113510460, сумма цифр 3+1+1+3+5+1+0+4+6+0 = 24 = 4!
y = 3113510340

Кстати, решение той начальной задачи с семизначными числами:
{ x + y = 3628800 = 10!
{ x - y = 120 = 5!
x = 1814460, сумма цифр 1 + 8 + 1 + 4 + 4 + 6 + 0 = 24 = 4!
y = 1814340