Задача 80966 Решите 11.40 с рисунком и подробно,...
Условие
Решение
M - середина ребра DD1.
BCMK - это и есть плоскость BCK, показана красным.
Отрезок B1N ⊥ BK - это расстояние от B1 до плоскости BCK, показан зеленым.
Его нам и нужно найти.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK.
AB = a, AK = a/2
[m]BK = \sqrt{AB^2 + AK^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2}[/m]
Отрезок B1K = BK, тоже показан зеленым.
Рассмотрим треугольник BB1K.
[m]B1K = BK = \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2},\ \ BB1 = a[/m]
Зная три стороны треугольника, можно найти высоту B1N.
[m]S(BB1K) = \frac{1}{2} \cdot S(ABB1A1) = \frac{1}{2} \cdot a^2 = \frac{a^2}{2}[/m]
[m]B1N = \frac{2 \cdot S(BB1K)}{BK} = 2 \cdot \frac{a^2}{2} : \frac{a \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{2a^2}{a \cdot \sqrt{5}} = \frac{2a}{\sqrt{5}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}[/m]
Ответ: [m]\frac{2a\sqrt{5}}{5}[/m]