Задача 80964 решить задачу, построить график и...
Условие
Решение
На Рис. 1 изображена часть графика от 0 до 3.
В точке чуть больше 3 график пересекает ось Ox и дальше идёт очень близко к оси.
На Рис. 2. изображена увеличенная часть того же графика от 3 до 5,5.
Примерно на 5,5 график опять пересекает ось Ox
Теперь что касается самого интеграла. Интеграл показывает площадь под кривой.
На обоих рисунках площадь закрашена зелёным цветом.
[m]S = \int \limits_0^{\infty} e^{-x} \cdot \sin x dx[/m]
Сначала решаем сам интеграл методом по частям.
[m]u = \sin x,\ dv = e^{-x} dx,\ du = \cos x\ dx,\ v = -e^{-x}[/m]
[m]\int e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -e^{-x} \cdot \cos x - \int (-e^{-x}) \cos x\ dx = -e^{-x} \cdot \cos x + \int e^{-x} \cdot \cos x\ dx[/m]
Новый интеграл берем опять по частям, причем нужно опять взять u = cos x
[m]u = \cos x,\ dv = e^{-x} dx,\ du = -\sin x,\ v = -e^{-x}[/m]
[m]\int e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -e^{-x} \cdot \cos x + (-e^{-x}) \cdot \cos x - \int (-e^{-x})(-\sin x)\ dx[/m]
[m]\int e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -2e^{-x} \cdot \cos x - \int e^{-x} \cdot \sin x\ dx[/m]
Обозначим [m]\int e^{-x} \cdot \sin x dx = I[/m]. Получили интересное уравнение:
[m]I = -2e^{-x} \cdot \cos x - I[/m]
[m]2 \cdot I = -2e^{-x} \cdot \cos x[/m]
[m]I = \int e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -e^{-x} \cdot \cos x[/m]
Теперь решаем несобственный интеграл через предел:
[m]S = \int \limits_0^{\infty} e^{-x} \cdot \sin x\ dx = \lim \limits_{x \to \infty} (-e^{-x} \cdot \cos x) - (-e^{-0} \cdot \cos 0)[/m]
Заметим, что cos x - ограниченная функция, она принимает значения от -1 до 1.
А предел [m]\lim \limits_{x \to \infty} (e^{-x}) = 0[/m]
При умножении ограниченной функции на 0 получается 0. Поэтому:
[m]S = \int \limits_0^{\infty} e^{-x} \cdot \sin x\ dx = -\lim \limits_{x \to \infty} (e^{-x} \cdot \cos x) - (-e^{-0} \cdot \cos 0) = 0 + 1 \cdot 1 = 1[/m]
Ответ: 1
