Задача 80962 ...
Условие
1. В правильной треуг. призме все рёбра равны 1. Найти S сечения, проходящего через вершины A, B₁ и C₁ . построить рисунок с сечением.
2. Ребро куба равно 2√(2) . Плоскость проходит через диагональ BD грани ABCD и середину E ребра A₁B₁ . Найти S сечения. построить рисунок с сечением.
3. В правильной 4-х угольной пирамиде все рёбра равны 1. Найти S сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер. построить рисунок с сечением.
Решение
Треугольник ABB1 - прямоугольный и равнобедренный.
Катеты AB = BB1 = 1, гипотенуза AB1 = sqrt(2).
Треугольник ACC1 - такой же, гипотенуза AC1 = sqrt(2).
Получается, что треугольник AB1C1 - равнобедренный, со сторонами:
B1C1 = 1, AB1 = AC1 = sqrt(2).
Его площадь можно найти по формуле Герона:
p = (B1C1 + AB1 + AC1)/2 = (1 + 2sqrt(2))/2 = sqrt(2) + 1/2
p - B1C1 = sqrt(2) + 1/2 - 1 = sqrt(2) - 1/2
p - AB1 = p - AC1 = sqrt(2) + 1/2 - sqrt(2) = 1/2
[m]S = \sqrt{p(p-B1C1)(p-AB1)(p-AC1)} = \sqrt{(\sqrt{2} + \frac{1}{2})(\sqrt{2} - \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} =[/m]
[m]= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{7}{4}}= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}[/m]
Ответ: [m]S = \frac{\sqrt{7}}{4}[/m]
2. Смотрите Рис. 2. Сечение - трапеция BDFE, показана красным.
Отрезок EF || B1D1, F - середина ребра A1D1.
Площадь трапеции:
[m]S = \frac{BD + EF}{2} \cdot H[/m]
Трапеция BDFE показана отдельно справа.
BD - диагональ куба, ее длина BD = AB*sqrt(2) = 2sqrt(2)*sqrt(2) = 4
EF - средняя линия треугольника A1B1D1.
EF = B1D1/2 = BD/2 = 4/2 = 2
MN = EF = 2
MB = DN = (BD - MN)/2 = (4 - 2)/2 = 1
Из прямоугольного треугольника BB1E получаем:
B1E = A1B1/2 = 2sqrt(2)/2 = sqrt(2)
По теореме Пифагора:
[m]BE = \sqrt{BB1^2 + B1E^2} = \sqrt{(2sqrt(2))^2 + (sqrt(2))^2} = \sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}[/m]
Из прямоугольного треугольника BME:
[m]H = EM = \sqrt{BE^2 - MB^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 1^2} = \sqrt{10 - 1} = 3[/m]
Теперь можно найти площадь трапеции:
[m]S = \frac{BD + EF}{2} \cdot H = \frac{4 + 2}{2} \cdot 3 = \frac{6}{2} \cdot 3 = 9[/m]
Ответ: [m]S = 9[/m]
3. Смотрите Рис. 3. Сечение - квадрат KLMN, показанный красным.
Так как точки K, L, M, N - середины боковых ребер AS, BS, CS, DS, то
KL = LM = MN = NK = 1/2 - средние линии боковых граней.
[m]S = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}[/m]
Ответ: [m]S = \frac{1}{4}[/m]
