Задача 80961 Найдите площадь фигуры, ограниченной...
Условие
Решение
Совсем простой интеграл, и даже пределы известны.
[m]S= \int \limits_{-5}^{-2} (-x^2 - 6x) dx = (-\frac{x^3}{3} - 3x^2) \bigg |_{-5}^{-2} = (-\frac{(-2)^3}{3} - 3(-2)^2) - (-\frac{(-5)^3}{3} - 3(-5)^2) [/m]
[m]= -\frac{-8}{3} - 3 \cdot 4 + \frac{-125}{3} + 3 \cdot 25 = [/m]
[m]= \frac{8}{3} - 12 - \frac{125}{3} + 75 = 63 - \frac{117}{3} = 63 - 39 = 24[/m]
Ответ: [b]S = 24[/b]
б) Ox; y = x^2 + 2x - 3; y = x - 1
Смотрите Рис. 1. Нужная нам область показана зеленым цветом.
Чуть сложнее, сначала надо найти пределы интегрирования.
Для этого приравниваем функции и решаем уравнение.
1) x^2 + 2x - 3 = 0 (Ось Ox - это прямая y = 0)
(x + 3)(x - 1) = 0
x1 = -3; x2 = 1
2) x - 1 = 0
x = 1
3) x^2 + 2x - 3 = x - 1
x^2 + x - 2 = 0
(x - 1)(x + 2) = 0
x1 = -2; x2 = 1
Область удобно разделить на две по линии x = -2, это тонкая черная линия.
Площадь находим как сумму двух интегралов:
[m]S = \int \limits_{-3}^{-2} (0 - x^2 - 2x + 3) dx + \int \limits_{-2}^{1} (0 - x + 1) dx[/m]
Так как обе части находятся под осью Ox, то мы обе функции вычитаем из 0.
[m]S = (- \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x) \bigg |_{-3}^{-2} + (- \frac{x^2}{2} + x) \bigg |_{-2}^{1} =[/m]
[m] (- \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 + 3(-2)) - (- \frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3(-3)) +[/m]
[m]+ (- \frac{1^2}{2} + 1) - (- \frac{(-2)^2}{2} + (-2)) =[/m]
[m]= - \frac{-8}{3} - 4 + (-6) + \frac{-27}{3} + 9 - (-9) + (- \frac{1}{2}) + 1 + 2 - (-2) =[/m]
[m]= \frac{8}{3} - 10 - 9 + 18 - \frac{1}{2} + 5 = [/m]
[m]= 4 + \frac{8}{3} - \frac{1}{2} = 4 + \frac{16}{6} - \frac{3}{6} = 4 + \frac{13}{6} = 4 + 2\frac{1}{6}= 6\frac{1}{6}[/m]
Ответ: [b]S = 6 1/6 = 37/6[/b]
в) y = -x^2 + 9, y = x + 3
Смотрите Рис. 2. Нужная область показана зеленым цветом.
Здесь ось Ox не учитывается, поэтому просто приравниваем функции.
-x^2 + 9 = x + 3
0 = x^2 + x + 3 - 9
x^2 + x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x1 = -2; x2 = 3
Подставляем в функции любое число из отрезка [-2; 3], например, x = 0
y = -0^2 + 9 = 9; y = 0 + 3 = 3
9 > 3, значит, парабола на этом отрезке лежит выше прямой.
Поэтому параболу берем с плюсом, а прямую с минусом.
[m]S = \int \limits_{-2}^3 (-x^2 + 9 - (x + 3)) dx = \int \limits_{-2}^3 (-x^2 - x + 6) dx = (- \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x) \bigg |_{-2}^3[/m]
Здесь всё проще, интеграл только один.
[m]S = (- \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 6 \cdot 3) - (- \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(2)^2}{2} + 6(-2)) =[/m]
[m]= - \frac{27}{3} - \frac{9}{2} + 18 + \frac{-8}{3} + 2 - (-12) =[/m]
[m]= -9 - \frac{9}{2} + 18 - \frac{8}{3} + 2 + 12 = 23 - \frac{9}{2} - \frac{8}{3} =[/m]
[m]= 23 - \frac{27}{6} - \frac{16}{6} = 23 - \frac{43}{6} = 23 - 7 \frac{1}{6} = 16 - \frac{1}{6} = 15 \frac{5}{6}[/m]
Ответ: [b]S = 15 5/6 = 95/6[/b]
