Задача 80953 Исследовать функцию и построить график....
Условие
Решение
Схема исследования функции.
1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
Область определения [b]D(Y) = R[/b]. Точек разрыва нет.
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Вертикальных асимптот нет.
3. Найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства.
Точка пересечения с осью Oy: x = 0; [b]y(0) = 16[/b]
Точки пересечения с осью Ox: [b]y = 0[/b]
x^4 - 8x^2 + 16 = 0
(x^2 - 4)^2 = 0
x^2 - 4 = 0
(x + 2)(x - 2) = 0
[b]x1 = -2; x2 = 2[/b]
Промежутки знакопостоянства.
x^4 - 8x^2 + 16 > 0
(x^2 - 4)^2 > 0
Это верно при любых x ≠ -2; x ≠ 2
4. Определить, является ли функция чётной или нечётной.
y(-x) = (-x)^4 - 8(-x)^2 + 16 = x^4 - 8x^2 + 16 = y(x)
[b]Функция чётная.[/b]
5. Определить, является ли функция периодической.
[b]Функция непериодическая.[/b]
6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания-убывания.
Точки экстремума - это точки, в которых y' = 0
y' = (x^4 - 8x^2 + 16)' = 4x^3 - 16x = 4x*(x^2 - 4) = 0
4x(x + 2)(x - 2) = 0
[b]x1 = -2, x2 = 0, x3 = 2[/b]
Промежутки возрастания и убывания.
При x < -2, например, при x = -3 будет
y'(-3) = 4(-3)(-3+2)(-3-2) = 4(-3)(-1)(-5) = -60 < 0 - функция убывает.
При x ∈ (-2; 0), например, при x = -1 будет
y'(-1) = 4(-1)(-1+2)(-1-2) = 4(-1)*1(-3) = 12 > 0 - функция возрастает.
При x ∈ (0; 2), например, при x = 1 будет
y'(1) = 4*1(1+2)(1-2) = 4*1*3(-1) = -12 < 0 - функция убывает.
При x > 2, например, при x = 3 будет
y'(3) = 4*3(3+2)(3-2) = 4*3*5*1 = 60 > 0 - функция возрастает.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Точки перегиба - это точки, в которых y'' = 0
y'' = (4x^3 - 16x)' = 12x^2 - 16 = 4(3x^2 - 4) = 0
4(sqrt(3)*x + 2)(sqrt(3)*x - 2) = 0
[b]x1 = -2/sqrt(3); x2 = 2/sqrt(3)[/b]
Промежутки выпуклости и вогнутости.
При x < -2/sqrt(3), например, при x = -2, будет
y''(-2) = 4(3*(-2)^2 - 4) = 4(3*4 - 4) = 4*8 = 32 > 0 - график вогнутый (выпуклый вниз).
При x ∈ (-2/sqrt(3); 2/sqrt(3)), например, при x = 0, будет
y''(0) = 4(3*0 - 4) = 4(-4) = -16 < 0 - график выпуклый (выпуклый вверх).
При x > 2/sqrt(3), например, при x = 2, будет:
y''(2) = 4(3*2^2 - 4) = 4(3*4 - 4) = = 4*8 = 32 > 0 - график вогнутый (выпуклый вниз).
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
Наклонные асимптоты, если они есть, имеют формулу:
f(x) = kx + b, где:
[m]k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x};\ \ \ b= k = \lim \limits_{x \to \infty} (y(x) - k \cdot x)[/m]
Ищем эти коэффициенты:
[m]k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^4 - 8x^2 + 16}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} (x^3 - 8x + \frac{16}{x}) = \infty[/m]
Так как k = oo, то наклонных асимптот нет.
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты (при необходимости).
Точки перегиба:
[m]y(-\frac{2}{\sqrt{3}}) = y(\frac{2}{\sqrt{3}}) = (\frac{2}{\sqrt{3}})^4 - 8(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 + 16 =\frac{16}{9} - 8 \cdot \frac{4}{3} + 16 =[/m]
[m]= \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 16 = \frac{16}{9} - \frac{96}{9} + 16 = 16 - \frac{80}{9} = 16 - 8 \frac{8}{9} = 7 \frac{1}{9}[/m]
10. Построить график функции, ее асимптот, отметить ключевые точки.
График на рисунке. Точки экстремумов так видны. Точки перегибов P1 и P2.