Задача 80952 ...

68cc6e2445525b56e490c433

5/30/2026 8:26:14 AM

Настя взяла натуральное число M.

Потом она проделала с его цифрами такую операцию:

каждую чётную по значению цифру возвела в квадрат;

каждую нечётную по значению цифру возвела в куб;

полученные числа сложила.

Например, если взять число 4637, то получится:

4² + 6² + 3³ + 7³ = 16 + 36 + 27 + 343 = 422.

Оказалось, что полученная сумма не меньше самого числа M.

Вопрос:

какое наибольшее натуральное число M могло быть у Насти?

626fab9a354ab65fb2f43abb

5/30/2026 2:51:17 PM

★

Чтобы сумма кубов и квадратов цифр оказалась не меньше числа, состоящего из этих цифр, очевидно, что цифры должны быть как можно больше.
И надо брать в основном нечетные цифры, потому что кубы больше, чем квадраты.
То есть число должно включать в себя как можно больше цифр 9. Найдем его куб:
9^3 = 729
Пусть у нас число будет 4-значное.
Заметим, что если в числе есть две 9, то получится сумма не меньше, чем:
9^3 + 9^3 = 729 + 729 = 1458.
Возьмем число, например, 1499:
1^3 + 4^2 + 9^3 + 9^3 = 1 + 16 + 2*729 = 17 + 1458 = 1475 < 1499
Чуть снизим, возьмем 1399:
1^3 + 3^3 + 9^3 + 9^3 = 1 + 27 + 2*729 = 28 + 1458 = 1486 > 1399 - ЭТО РЕШЕНИЕ!!!
Если мы возьмем пятизначное число с тремя 9 на конце, то получим сумму не меньше:
9^3 + 9^3 + 9^3 = 3*729 = 2187
Сумма получилась 4-значная, и в пятизначную мы ее никак не превратим.
Значит, число должно быть именно 4-значным.

Ответ: 1399.