Задача 80946 Найти общее и частное решение...

6a13fdccbedf105f3005fadf

5/25/2026 8:13:33 AM

Найти общее и частное решение дифференциального
уравнения первого порядка

68501b46d00c766c9c688611

5/25/2026 11:41:23 AM

Дифференциальное уравнение

  y′ = x y³ (1)

относится к раздельным (separable) уравнениям.

1. Раз­де­лим пе­ре­мен­ные
  dy / y³ = x dx.

2. Проинтегрируем обе части

  ∫ y⁻³ dy = ∫ x dx
  − ½ y⁻² = ½ x² + C.

3. Удобнее умножить на −2 и переобозначить константу:
  y⁻² = −x² − 2C = A − x², A = −2C. (2)

4. Выразим y:
  1 / y² = A − x²  ⇔  y² = 1 / (A − x²)
  y(x) = ± 1 / √(A − x²). (3)

Это семейство интегральных кривых (общее решение) при условии A − x² > 0.
Также заметим, что y ≡ 0 удовлетворяет (1); это ещё одно (тривиальное) решение, не входящее в (3).

5. Частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1.
Подставляем x = 1, y = 1 в (2):

  1 / 1² = A − 1² ⇒ A − 1 = 1 ⇒ A = 2.

Из (3) берём положительную ветвь (так как y(1)=1>0):

  y(x) = 1 / √(2 − x²), |x| < √2. (4)

Итак

• Общее решение:
  y(x) = ± 1 / √(C − x²),  C ∈ ℝ, C − x² > 0,
  и, дополнительно, y(x) ≡ 0.

• Частное решение, удовлетворяющее условию y(1)=1:
  y(x) = 1 / √(2 − x²),  |x| < √2.