Задача 80932 Снизу задания...
Условие
Решение
2x - 3y = 8 \\
3x + y = 1 \\
\end{cases}[/m]
Умножаем 2 уравнение на 3:
[m]\begin{cases}
2x - 3y = 8 \\
9x + 3y = 3 \\
\end{cases}[/m]
Складываем уравнения:
11x = 11
x = 1
Подставляем у любое уравнение:
3*1 + y = 1
y = 1 - 3 = -2
Ответ: x = 1; y = -2
2) 4x^3 - 81x = 0
x(4x^2 - 81) = 0
x(2x - 9)(2x + 9) = 0
x1 = 0; x2 = -9/2 = -4,5; x3 = 9/2 = 4,5
Ответ: -4,5; 0; 4,5
3) x + 2y - 4 = 0; y = -2
Чтобы найти точку пересечения, нужно подставить y = -2 в уравнение:
x + 2*(-2) - 4 = 0
x - 4 - 4 = 0
x = 8
Ответ: (8; -2)
4) 0,5x + 0,2y = 1,2; 0,3x - 0,1y = 0,5
Чтобы найти точку пересечения, нужно составить систему из уравнений:
[m]\begin{cases}
0,5x + 0,2y = 1,2 \\
0,3x - 0,1y = 0,5 \\
\end{cases}[/m]
Умножаем на 10 оба уравнения:
[m]\begin{cases}
5x + 2y = 12 \\
3x - y = 5 \\
\end{cases}[/m]
Умножаем на 2 второе уравнение:
[m]\begin{cases}
5x + 2y = 12 \\
6x - 2y = 10 \\
\end{cases}[/m]
Складываем уравнения:
11x = 22
x = 2
Подставляем в любое уравнение:
5*2 + 2y = 12
2y = 12 - 10 = 2
y = 1
Ответ: (2; 1)
5) [m]\begin{cases}
12 - 10(2x - 1) = -6(4y - 3) \\
0,4y + 0,6x = 4,6 \\
\end{cases}[/m]
В 1 уравнении раскрываем скобки, 2 уравнение умножаем на 10:
[m]\begin{cases}
12 - 20x + 10 = -24y + 18 \\
4y + 6x = 46 \\
\end{cases}[/m]
В 1 уравнении приводим подобные:
[m]\begin{cases}
24y - 20x = -4 \\
4y + 6x = 46 \\
\end{cases}[/m]
1 уравнение делим на 4, 2 уравнение делим на 2:
[m]\begin{cases}
6y - 5x = -1 \\
2y + 3x = 23 \\
\end{cases}[/m]
2 уравнение умножаем на -3:
[m]\begin{cases}
6y - 5x = -1 \\
-6y - 9x = -69 \\
\end{cases}[/m]
Складываем уравнения:
-14x = -70
x = 5
Подставляем в любое уравнение:
6y - 5*5 = -1
6y = -1 + 25 = 24
y = 4
Ответ: x = 5; y = 4
6) 1) x^2(x - 5) - (x - 2)^3 = x^2 - 4
x^3 - 5x^2 - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) - x^2 + 4 = 0
x^3 - 5x^2 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 - x^2 + 4 = 0
-12x + 12 = 0
Ответ: x = 1
2) |x + y - 5| + x^2 - 6xy + 9y^2 = 0
|x + y - 5| + (x - 3y)^2 = 0
|x + y - 5| ≥ 0 при любых x и y. (x - 3y)^2 ≥ 0 при любых x и y.
Если сумма этих выражений равна 0, значит, они оба равны 0.
[m]\begin{cases}
x + y - 5 = 0 \\
x - 3y = 0 \\
\end{cases}[/m]
Решаем:
[m]\begin{cases}
x = 3y \\
3y + y = 5 \\
\end{cases}[/m]
4y = 5
y = 5/4 = 1,25
x = 3y = 3*5/4 = 15/4 = 3,75
Ответ: x = 3,75; y = 1,25
3) 7 - x + |x|*x = 7|x|
Здесь возможны два случая.
а) x < 0, |x| = -x
7 - x - x*x = -7x
-x^2 - x + 7x + 7 = 0
x^2 - 6x - 7 = 0
(x - 7)(x + 1) = 0
x = -1 < 0 - подходит
x = 7 > 0 - не подходит.
б) x ≥ 0, |x| = x
7 - x + x*x = 7x
x^2 - x - 7x + 7 = 0
x^2 - 8x + 7 = 0
(x - 1)(x - 7) = 0
x1 = 1 > 0
x2 = 7 > 0
Подходят оба корня.
Ответ: -1; 1; 7
Все решения
(В конце каждого пункта выделен ответ.)
──────────────────────────────────────────
1. (1 балл) Решить систему
{ 2x − 3y = 8,
3x + y = 1.
Из второго уравнения: y = 1 − 3x.
Подставляем в первое:
2x − 3(1 − 3x) = 8
2x − 3 + 9x = 8
11x = 11 ⇒ x = 1.
y = 1 − 3·1 = −2.
Ответ: (1; −2).
──────────────────────────────────────────
2. (1 балл) Решить уравнение 4x³ − 81x = 0.
Выносим x за скобку:
x(4x² − 81) = 0 ⇒
1) x = 0;
2) 4x² = 81 ⇒ x² = 81/4 = (9/2)² ⇒ x = ±9/2.
Ответ: 0; 9/2; −9/2.
──────────────────────────────────────────
3. (1 балл) Координаты точки пересечения графика x + 2y − 4 = 0
с прямой y = −2.
Подставляем y = −2:
x + 2(−2) − 4 = 0 ⇒ x − 4 − 4 = 0 ⇒ x = 8.
Ответ: (8; −2).
──────────────────────────────────────────
4. (1 балл) Точка пересечения
0,5x + 0,2y = 1,2, 0,3x − 0,1y = 0,5.
Умножим на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
5x + 2y = 12, 3x − y = 5.
Из второго: y = 3x − 5.
Подставим в первое:
5x + 2(3x − 5) = 12
5x + 6x − 10 = 12
11x = 22 ⇒ x = 2.
y = 3·2 − 5 = 1.
Ответ: (2; 1).
──────────────────────────────────────────
5. (1 балл) Система
{ 12 − 10(2x − 1) = −6(4y − 3),
0,4y + 0,6x = 4,6.
Первое уравнение:
12 − 20x + 10 = −24y + 18
22 − 20x = −24y + 18
20x − 24y = 4 ⇒ 5x − 6y = 1. (I)
Второе уравнение умножаем на 10: 4y + 6x = 46 ⇒ 3x + 2y = 23. (II)
Решаем (I) и (II):
(I) 5x − 6y = 1
(II) 3x + 2y = 23
Умножим (II) на 3: 9x + 6y = 69.
Сложим с (I): 14x = 70 ⇒ x = 5.
3·5 + 2y = 23 ⇒ 15 + 2y = 23 ⇒ y = 4.
Ответ: (5; 4).
──────────────────────────────────────────
6. (3 балла) Решить уравнения
6.1) x²(x − 5) − (x − 2)³ = x² − 4.
Раскрываем скобки:
x²(x − 5) = x³ − 5x²,
(x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8.
Подставляем:
(x³ − 5x²) − (x³ − 6x² + 12x − 8) = x² − 4
x³ − 5x² − x³ + 6x² − 12x + 8 = x² − 4
x² − 12x + 8 = x² − 4
−12x + 8 = −4 ⇒ −12x = −12 ⇒ x = 1.
Проверка даёт верно, других корней нет.
Ответ: x = 1.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
6.2) |x + y − 5| + x² − 6xy + 9y² = 0.
Заметим, что x² − 6xy + 9y² = (x − 3y)² ≥ 0,
|x + y − 5| ≥ 0.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю
только тогда, когда каждое из них равно нулю:
|x + y − 5| = 0 ⇒ x + y − 5 = 0,
(x − 3y)² = 0 ⇒ x − 3y = 0.
Решаем систему:
x = 3y,
3y + y = 5 ⇒ 4y = 5 ⇒ y = 5/4.
x = 3·5/4 = 15/4.
Ответ: (15/4; 5/4).
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
6.3) 7 − x + |x|·x = 7|x|.
Разбираем по знакам |x|.
а) x ≥ 0 ⇒ |x| = x:
7 − x + x·x = 7x
x² − 8x + 7 = 0
(x − 1)(x − 7) = 0 ⇒ x = 1 или x = 7 (оба подходят).
б) x < 0 ⇒ |x| = −x:
7 − x + x(−x) = 7(−x)
7 − x − x² = −7x
−x² + 6x + 7 = 0 ⇒ x² − 6x − 7 = 0
(x − 7)(x + 1) = 0.
Подходит только x = −1 (так как x < 0).
Ответ: −1; 1; 7.
──────────────────────────────────────────
Итоговые ответы
1) (1; −2)
2) 0; 9/2; −9/2
3) (8; −2)
4) (2; 1)
5) (5; 4)
6.1) 1
6.2) (15/4; 5/4)
6.3) −1; 1; 7