Задача 80929 Решите задание связанное с криволинейным...
Условие
Решение
Все решения
x(t)=ln(1+t²), y(t)=2 arctg t, 0≤t≤1,
если линейная плотность μ(x,y)=y/eˣ.
1. Элемент длины дуги
dx/dt = 2t/(1+t²), dy/dt = 2/(1+t²)
ds = √[(dx/dt)²+(dy/dt)²] dt
= √[4t²/(1+t²)² + 4/(1+t²)²] dt
= 2√(t²+1)/(1+t²) dt
= 2/√(1+t²) dt.
2. Плотность вдоль кривой
y(t)=2 arctg t, e^{−x(t)} = e^{−ln(1+t²)} = 1/(1+t²)
μ(t)=y(t) e^{−x(t)} = 2 arctg t /(1+t²).
3. Масса кривой – криволинейный интеграл 1-го рода
m = ∫_C μ ds = ∫_{0}^{1} μ(t) ds
= ∫_{0}^{1} 2 arctg t /(1+t²) · 2/√(1+t²) dt
= 4 ∫_{0}^{1} arctg t /(1+t²)^{3/2} dt.
4. Вычисление интеграла
Заменим t = tan θ (θ∈[0,π/4]):
dt = sec²θ dθ, 1+t² = sec²θ, arctg t = θ
I = ∫ arctg t /(1+t²)^{3/2} dt
= ∫_{0}^{π/4} θ·(sec²θ)/(sec³θ) dθ
= ∫_{0}^{π/4} θ cos θ dθ.
Интегрируем по частям:
u=θ, dv=cos θ dθ ⟹ du=dθ, v=sin θ
∫ θ cos θ dθ = θ sin θ − ∫ sin θ dθ
= θ sin θ + cos θ + C.
Подставляем пределы:
I = [θ sin θ + cos θ]_{0}^{π/4}
= (π/4)·sin(π/4) + cos(π/4) − 1
= (π√2/8) + (√2/2) − 1
= √2/8 (π+4) − 1.
5. Масса
m = 4I = 4[√2/8 (π+4) − 1]
= (√2/2)(π+4) − 4
= (π+4)/√2 − 4.
Численно: m ≈ (7.1416)/1.4142 − 4 ≈ 1.05.
Ответ:
m = (π + 4)/√2 − 4 ≈ 1.05.