Задача 80919 Вычислить приближённо с помощью...
Условие
Решение
У нас фактически здесь функция двух переменных.
[m]z(x; y) = x^{y}[/m]
И нам надо вычислить значение этой функции в точке M(2,01; 3,03).
Очевидно, мы можем взять близкую точку M0(x0; y0) при x0 = 2, y0 = 3.
[m]z(M0) = x0^{y0} = 2^3 = 8[/m]
Тогда z(M) = z(x0+Δx; y0+Δy), Δx = 0,01; Δy = 0,03.
Для приближенного вычисления функции в точке применяется формула:
[m]z(M) = z(x0+Δx; y0+Δy) ≈ z(x0; y0) + d[z(x0; y0)][/m]
Где d[z(x0; y0)] - это полный дифференциал функции в точке M0:
[m]d[z(x0; y0)] = z'_{x}(x0; y0) \cdot Δx + z'_{y}(x0; y0) \cdot Δy[/m]
Находим частные производные:
[m]z'_{x} = y \cdot x^{y-1}[/m]; [m]z'_{x}(M0) = 3 \cdot 2^{3-1} = 3 \cdot 2^2 = 12[/m]
[m]z'_{y} = x^{y} \cdot \ln x[/m]; [m]z'_{x}(M0) = 2^{3} \cdot \ln 2 = 8 \ln 2 ≈ 5,5452[/m]
Полный дифференциал:
[m]d[z(x0; y0)] = z'_{x}(x0; y0) \cdot Δx + z'_{y}(x0; y0) \cdot Δy [/m]
[m]d[z(x0; y0)] = 12 \cdot 0,01 + 5,5452 \cdot 0,03 ≈ 0,286356[/m]
Приближенное значение:
[m]z(x0+Δx; y0+Δy) = z(x0; y0) + d[z(x0; y0)][/m]
[m]z(2,01; 3,03) ≈ 8 + 0,286356 = 8,286356[/m]