Задача 80913 К заданию сделайте рисунок. К окружности...
Условие
К окружности с центром в точке O провели две касательные KM и KL из точки K так, что M и L — точки касания. Определите градусную меру большей дуги ML, если известно, что длина отрезка KM равна радиусу данной окружности.
Решение
1. Длина касательной
Для внешней точки K выполняется (сила точки)
KM² = OK² – r².
Так как KM = r, то
r² = OK² – r² ⇒ OK = √2·r.
2. Треугольник OKM
OM ⟂ KM (радиус ⟂ касательной).
OM = r, KM = r, OK = √2·r.
Значит △OKM – равнобедренный прямоугольный (правый угол при M),
поэтому ∠MKO = 45°.
3. Аналогично для △OKL: ∠LKO = 45°.
4. Угол между касательными
∠MKL = ∠MKO + ∠OKL = 45° + 45° = 90°.
5. Связь угла между касательными и дуги
Угол между двумя касательными равен разности 180° и величины меньшей дуги ML:
∠MKL = 180° – m(малая дуга ML).
90° = 180° – m ⇒ m(малая дуга ML) = 90°.
6. Большая дуга
m(большая дуга ML) = 360° – 90° = 270°.
Ответ: 270°.
(На рисунке следует изобразить окружность с центром O, точки касания M и L, внешнюю точку K, касательные KM и KL, радиусы OM и OL; получится два равных прямоугольных треугольника OKM и OKL.)