Задача 80911 Решите, пожалуйста ...
Условие
Решение
Линейное неоднородное диф. уравнение с постоянными коэффициентами.
Задача Коши.
1) Решаем однородное уравнение:
y'' - 4y' + 4y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 4k + 4 = 0
(k - 2)^2 = 0
k1 = k2 = 2
Корни равны, поэтому общее решение однородного уравнения:
y(одн) = (C1*x + C2)*e^(2x)
2) Находим частное решение неоднородного уравнения.
Так как в правой части стоит e^(2x), и k = 2 - корень характеристического уравнения, да ещё и кратный, то решение неоднородного уравнения:
y(неод) = A*x^2*e^(2x)
y'(неод) = A*(2x*e^(2x) + x^2*2e^(2x)) = 2A*e^(2x)*(x^2 + x)
y''(неод) = 2A*[2e^(2x)*(x^2 + x) + e^(2x)*(2x + 1)] =
= 2A*e^(2x)*(2x^2 + 2x + 2x + 1) = 2A*e^(2x)*(2x^2 + 4x + 1)
Подставляем в уравнение:
2A*e^(2x)*(2x^2 + 4x + 1) - 4*2A*e^(2x)*(x^2 + x) + 4A*x^2*e^(2x) = e^(2x)
Делим на e^(2x) слева и справа:
2A*(2x^2 + 4x + 1) - 8A*(x^2 + x) + 4A*x^2 = 1
Раскрываем скобки:
4A*x^2 + 8A*x + 2A - 8A*x^2 - 8A*x + 4A*x^2 = 1
Приводим подобные:
2A = 1
A = 0,5
y(неод) = 0,5x^2*e^(2x)
3) Общее решение неоднородного уравнения:
y(x) = y(одн) + y(неод)
y(x) = (C1*x + C2)*e^(2x) + 0,5x^2*e^(2x)
y(x) = (0,5x^2 + C1*x + C2)*e^(2x)
y'(x) = (x + C1)*e^(2x) + (0,5x^2 + C1*x + C2)*2e^(2x)
y'(x) = (x^2 + (2*C1 + 1)*x + (C1 + 2*C2))*e^(2x)
4) Решаем задачу Коши.
y(0) = (0,5*0 + C1*0 + C2)*e^0 = 2
y'(0) = (0 + (2*C1 + 1)*0 + (C1 + 2*C2))*e^0 = 8
Получаем систему:
{ C2*1 = 2
{ (C1 + 2*C2)*1 = 8
Решаем:
{ C2 = 2
{ C1 + 2*2 = 8
Получаем:
{ C1 = 4
{ C2 = 2
Частное решение задачи Коши:
y(x) = (0,5x^2 + 4x + 2)*e^(2x)
26) y'' + 2y' + y = x + sin x
Линейное неоднородное диф. уравнение с постоянными коэффициентами.
1) Решаем однородное уравнение:
y'' + 2y' + y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 2k + 1 = 0
(k + 1)^2 = 0
k1 = k2 = -1
Корни равны, поэтому общее решение однородного уравнения:
y(одн) = (C1*x + C2)*e^(-x)
2) Частное решение неоднородного уравнения.
Так как правая часть представляет собой сумму двух функций, находим каждое частное решение отдельно:
a) y'' + 2y' + y = x
Так как 0 не является корнем характеристического уравнения, то решение:
y1(неод) = Ax + B
y1'(неод) = A
y''(неод) = 0
Подставляем в уравнение:
0 + 2A + A*x + B = x
A*x + (2A + B) = x
Составляем систему по степеням x:
{ A = 1
{ 2A + B = 0
Решаем:
{ A = 1
{ 2 + B = 0
Получаем:
{ A = 1
{ B = -2
Первое частное решение:
y1(неод) = x - 2
b) y'' + 2y' + y = sin x
y2(неод) = A*cos x + B*sin x
y2'(неод) = -A*sin x + B*cos x
y2''(неод) = -A*cos x - B*sin x
Подставляем в уравнение:
-A*cos x - B*sin x + 2*(-A*sin x + B*cos x) + A*cos x + B*sin x = sin x
-A*cos x - B*sin x - 2A*sin x + 2B*cos x + A*cos x + B*sin x = sin x
- 2A*sin x + 2B*cos x = sin x
Составляем систему по синусам и косинусам:
{ -2A = 1
{ 2B = 0
Получаем:
{ A = -0,5
{ B = 0
Второе частное решение:
y2(неод) = -0,5*cos x
Общее решение неоднородного уравнения:
y(x) = y(одн) + y1(неод) + y2(неод)
y(x) = (C1*x + C2)*e^(-x) + x - 2 - 0,5*cos x