Задача 80909 ...
Условие
Решение
f(x) = x^4 - 4x^3
f(-x) = (-x)^4 - 4(-x)^3 = x^4 + 4x^3
f(-x) ≠ -f(x); f(-x) ≠ f(x)
Функция не четная и не нечетная. Функция общего вида.
Теперь точки (0; 0) и (4; 0)
f(0) = 0^4 - 4*0^3 = 0 - 0 = 0. Точка (0; 0) принадлежит графику.
f(4) = 4^4 - 4*4^3 = 4^4 - 4^4 = 0. Точка (4; 0) принадлежит графику.
Экстремумы.
f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2*(x - 3) = 0
x1 = 0, x2 = 3
f(0) = 0; f(3) = 3^4 - 4*3^3 = 81 - 4*27 = 81 - 108 = -27
При x < 0, например, при x = -1 будет:
f'(x) = 4(-1)^2*(-1 - 3) = 4*1(-4) = -16 < 0 - функция убывает.
При x ∈ (0; 3), например, при x = 1 будет:
f'(x) = 4*1^2*(1 - 3) = 4*1(-2) = -8 < 0 - функция убывает.
Значит, точка (0; 0) НЕ является экстремумом!
При x > 3, например, при x = 4 будет:
f'(x) = 4*4^2*(4 - 3) = 4^3*1 = 4^3 = 64 > 0 - функция возрастает.
Значит, точка (3; -27) - точка минимума.
Точки перегиба.
f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x*(x - 2) = 0
x1 = 0, x2 = 2
f(0) = 0; f(2) = 2^4 - 4*2^3 = 16 - 4*8 = 16 - 32 = -16
При x < 0, например, при x = -1 будет:
f''(-1) = 12(-1)*(-1 - 2) = -12*(-3) = 36 > 0 - график выпуклый вниз (вогнутый).
При x ∈ (0; 2), например, при x = 1 будет:
f''(1) = 12*1*(1 - 2) = 12(-1) = -12 < 0 - график выпуклый вверх (выпуклый).
При x > 2, например, при x = 3 будет:
f''(3) = 12*3*(3 - 2) = 12*3*1 = 36 > 0 - график выпуклый вниз (вогнутый).
Точки перегиба: (0; 0) и (2; -16)