Задача 80905 найти экстремумы функции двух переменных...
Условие
Решение
1) Необходимое условие экстремума.
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
{ dz/dx = 6x^2 - y^2 + 10x = 0
{ dz/dy = -2xy + 2y = 0
Преобразуем уравнения:
{ 6x^2 + 10x - y^2 = 0
{ 2y*(1 - x) = 0
Из 2 уравнения следует два корня:
а) y = 0, подставляем в 1 уравнение:
6x^2 + 10x = 0
2x(3x + 5) = 0
x1 = 0, [b]A1(0; 0)[/b]
x2 = -5/3; [b]A2 = (-5/3; 0)[/b]
б) x = 1, подставляем в 1 уравнение:
6 + 10 - y^2 = 0
y^2 = 16
y1 = -4; [b]B1(1; -4)[/b]
y2 = 4; [b]B2(1; 4)[/b]
2) Достаточное условие экстремума.
Находим производные 2 порядка:
A = d^2z/dx^2 = 12x + 10
B = d^2z/(dxdy) = -2y
C = d^2z/dy^2 = -2x + 2
D = AC - B^2 = (12x + 10)(-2x + 2) - (-2y)^2 = (12x + 10)(2 - 2x) - 4y^2
а) A(A1) = A(0; 0) = 0 + 10 = 10 > 0
D(A1) = D(0; 0) = (12*0 + 10)(2 - 2*0) - 4*0^2 = 10*2 - 0 = 20 > 0
D > 0 и A > 0 : A1(0; 0) - точка минимума.
б) A(A2) = 12*(-5/3) + 10 = -4*5 + 10 = -10 < 0
D(A2) = (12*(-5/3) + 10)(2 - 2(-5/3)) - 4*0^2 = -10(2 + 10/3) = -20 - 100/3 < 0
D < 0 : В A2(-5/3; 0) экстремума нет.
в) A(B1) = 12*1 + 10 = 22 > 0
D(B1) = (12*1 + 10)(2 - 2*1) - 4*(-4)^2 = 22*0 - 4*4^2 = -4^3 < 0
D < 0 : В B1(1; -4) экстремума нет.
г) A(B2) = 12*1 + 10 = 22 > 0
D(B2) = (12*1 + 10)(2 - 2*1) - 4*4^2 = 22*0 - 4*4^2 = -4^3 < 0
D < 0 : В B2(1; 4) экстремума нет.
Ответ: A1(0; 0) - точка минимума.