Задача 80884 В прямоугольном параллелепипеде...

69ced158c165de54015388c9

4/2/2026 8:34:18 PM

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К - середина ребра B1C1, AB=11, AD=4 sqrt(11)? AA1=3sqrt(22). Найдите расстояние от точки A1 до плоскости CDK.

692ecb44a0211e4a1fadc32d

4/3/2026 11:42:44 AM

★

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед;
К ∈ В1С1; В1К = КС1;
АВ = 11; AD = 4sqrt(11); АА1 = 3sqrt(22)
Найти: d(A1; CDK)
Решение:
Проведем А1М ⊥ DE
● Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.
Докажем, что А1М ⊥ (СDK)
● Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
DC ⊥ (ADD1) (ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед)
A1M ⊂ (ADD1)
● Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
⇒ CD ⊥ A1M
CD ⊂ (CDK), DE ⊂ (CDK), CD ∩ ED = D ⇒ A1M ⊥ (CDK) ⇒ A1M = d(A1; CDK)

ΔA1ME~ ΔDD1E (прямоугольные; ∠ А1ЕМ = ∠ D1ED - вертикальные)
[m]\frac{A1M}{DD1}=\frac{A1E}{ED} [/m]
D1D = 3sqrt(22); A1E = 2sqrt(11)
По теореме Пифагора для ΔED1D
ED^(2)=ED1^(2)+DD1^(2)=44+198 = 242 ⇒ ED = 11sqrt(2)
[m]\frac{A1M}{3\sqrt{22}}=\frac{2\sqrt{11}}{11\sqrt{2}} [/m]
[m]A1M=\frac{3\sqrt{22}\cdot 2\sqrt{11}}{11\sqrt{2}}=6[/m]

Ответ: 6