Задача 80883 даны прямые l1.l2.l3.l4 являются ли они...
Условие
Решение
x = 2t \\
y = -2 \\
z = -6 + 4t \\
\end{cases};\ l2= \begin{cases}
x = 1-t \\
y = 3 \\
z = -4 - 2t \\
\end{cases};\ l3= \begin{cases}
x = -1 - 3t \\
y = -2 \\
z = -3 - t \\
\end{cases};\ l4= \begin{cases}
x = 2 - t \\
y = 3 \\
z = -2 - 2t \\
\end{cases}[/m]
Прямые заданы в параметрической форме. Выразим t во всех уравнениях:
[m]l1 = \begin{cases}
t = \frac{x}{2} \\
0t = y + 2 \\
t = \frac{z+6}{4} \\
\end{cases};\ l2= \begin{cases}
t = \frac{-x+1}{1} \\
0t = y - 3 \\
t = \frac{z+4}{-2} \\
\end{cases};\ l3= \begin{cases}
t = \frac{x+1}{-3} \\
0t = y + 2 \\
t = \frac{z+3}{-1} \\
\end{cases};\ l4= \begin{cases}
t = \frac{-x + 2}{1} \\
0t = y - 3 \\
t = \frac{z+2}{-2} \\
\end{cases}[/m]
Переводим параметрическую запись в каноническую:
[m]l1: \frac{x}{2} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+6}{4};\ l2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+4}{-2}[/m]
[m]l3: \frac{x+1}{-3} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+3}{-1};\ l4: \frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+2}{-2}[/m]
Прямые могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.
1) Если прямые параллельны, то выполняется условие:
[m]\frac{m1}{m2} = \frac{n1}{n2} = \frac{p1}{p2}[/m]
Где m, n, p - координаты направляющего вектора прямой, то есть знаменатели дробей в канонической записи уравнения прямой.
Но делить 0 на 0 в ординатах (y) смысла нет, мы его пропустим.
Сравниваем l1 и l3:
[m]\frac{2}{-3} = \frac{4}{-1}[/m] - это неверно, значит, они не параллельны.
Сравниваем l2 и l4:
[m]\frac{-1}{-1} = \frac{-2}{-2}[/m] - это верно, значит, они параллельны.
2) Если прямые пересекаются, то выполняется условие:
[m]\begin{pmatrix}
x1 - x2 & y1 - y2 & z1 - z2 \\
m1 & n1 & p1 \\
m2 & n2 & p2 \\
\end{pmatrix} = 0[/m]
Где A(x1; y1; z1) - точка на прямой 1, B(x2; y2; z2) - точка на прямой 2.
Проверяем прямые l1 и l3.
[m]\begin{pmatrix}
0 - (-1) & -2 - (-2) & -6 - (-3) \\
2 & 0 & 4 \\
-3 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 \\
2 & 0 & 4 \\
-3 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix} = 0[/m]
Если в определителе есть строка из 0, то он сразу равен 0.
Значит, прямые l1 и l3 пересекаются.
3) Проверим пару l1 и l2.
[m]l1: \frac{x}{2} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+6}{4};\ l2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+4}{-2}[/m]
На параллельность:
[m]\frac{2}{-1} = \frac{4}{-2}[/m] - это верно, значит, они параллельны.
Проверяем пару l1 и l4.
[m]l1: \frac{x}{2} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+6}{4};\ l4: \frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+2}{-2}[/m]
На параллельность:
[m]\frac{2}{-1} = \frac{4}{-2}[/m] - это верно, значит, они параллельны.
Проверяем пару l2 и l3.
[m]l2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+4}{-2};\ l3: \frac{x+1}{-3} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+3}{-1}[/m]
На параллельность:
[m]\frac{-1}{-3} = \frac{-2}{-1}[/m] - это неверно, они не параллельны.
На пересечение:
[m]\begin{pmatrix}
1 - (-1) & 3 - (-2) & -4 - (-3) \\
-1 & 0 & -2 \\
-3 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 5 & -1 \\
-1 & 0 & -2 \\
-3 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix} = [/m]
= 2*0*(-1) + (-1)*(-1)*0 + 5*(-2)*(-3) - (-1)*0*(-3) - 2*(-2)*0 - 5*(-1)*(-1) =
= 0 + 0 + 30 - 0 - 0 - 5 = 25
Эти прямые не пересекаются, значит, они скрещиваются.
Проверяем пару l3 и l4.
[m]l3: \frac{x+1}{-3} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+3}{-1};\ l4: \frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+2}{-2}[/m]
На параллельность:
[m]\frac{-3}{-1} = \frac{-1}{-2}[/m] - это неверно, они не параллельны.
На пересечение:
[m]\begin{pmatrix}
-1 - 2 & -2 - 3 & -3 - (-2) \\
-3 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & -2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-3 & -5 & -1 \\
-3 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & -2 \\
\end{pmatrix} = [/m]
= (-3)*0*(-2) + (-1)*(-3)*0 + (-5)*(-1)*(-1) - (-1)*0*(-1) - (-3)*(-1)*0 - (-5)*(-3)*(-2) =
= 0 + 0 - 5 - 0 - 0 + 30 = 25
Эти прямые не пересекаются, значит, они скрещиваются.
Ответ: Скрещиваются пары прямых: (l2; l3); (l3; l4)
Остальные прямые: l1 || l2 || l4, прямые l1 и l3 пересекаются.