Задача 80880 решить интеграл с параметром ...
Условие
Решение
Такой интеграл решается только по частям.
[m]u = \ln (1+2a \cos x + a^2);\ \ dv = dx[/m]
[m]du = \frac{1}{1+2a \cos x + a^2} dx \cdot (-2a \sin x);\ \ v = x[/m]
[m]\int \limits_0^{\pi} \ln (1+2a \cos x + a^2)dx = x \cdot \ln (1+2a \cos x + a^2) |_0^{\pi} - \int \limits_0^{\pi} \frac{-2a \sin x \cdot x}{1+2a \cos x + a^2} dx =[/m]
[m]= \pi \cdot \ln (1+2a \cos \pi + a^2) - 0 + 2a \int \limits_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+2a \cos x + a^2} dx[/m]
1 часть найти легко:
[m]\pi \cdot \ln (1+2a \cos \pi + a^2) = \pi \cdot \ln (1-2a + a^2) = \pi \cdot \ln (1 - a)^2 = 2\pi \cdot \ln |1 - a|[/m]
При a = 1 это выражение не существует.
С интегралом сложнее.
[m]2a \int \limits_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+2a \cos x + a^2} dx = [/m]
Я не знаю, как его решать на самом деле, Вольфрам Альфа показал, что нужно разложить функцию в ряд Маклорена. Результат будет такой:
[m]2a \cdot (\frac{1}{3(1+a)^2} \cdot x^3 - \frac{a^2-4a+1}{30(1+a)^4} \cdot x^5 + \frac{a^4-26a^3+66a^2-26a+1}{840(1+a)^6} \cdot x^7 + o(x^8)) |_0^{\pi}[/m]
Здесь o(x^8) - это бесконечно малая величина, зависящая от x^8, её можно не учитывать.
При а = -1 это выражение не существует.
При подстановке 0 получается 0, его тоже можно не учитывать. Всё вместе получается:
[m]2\pi \cdot \ln |1 - a| + 2a \cdot (\frac{1}{3(1+a)^2} \cdot \pi^3 - \frac{a^2-4a+1}{30(1+a)^4} \cdot \pi^5 + \frac{a^4-26a^3+66a^2-26a+1}{840(1+a)^6} \cdot \pi^7)[/m]