Задача 80876 Решите, пожалуйста ...

68e181a4d4282d71f8dd33b0

4/4/2026 7:32:35 AM

Решите, пожалуйста

626fab9a354ab65fb2f43abb

4/4/2026 10:04:29 AM

★

1) [m]\int \limits_1^4 \frac{x^3 + 2x - 3}{\sqrt{x}} dx = \int \limits_1^4 (x^{2,5} + 2x^{0,5} - 3x^{-0,5}) dx = (\frac{x^{3,5}}{3,5} + \frac{2x^{1,5}}{1,5} - 3\frac{x^{0,5}}{0,5}) \bigg |_1^4 =[/m]
[m]= (\frac{2x^{3,5}}{7} + \frac{4x^{1,5}}{3} - 6x^{0,5}) \bigg |_1^4 =(\frac{2 \cdot 4^{3,5}}{7} + \frac{4 \cdot 4^{1,5}}{3} - 6 \cdot 4^{0,5}) - (\frac{2 \cdot 1^{3,5}}{7} + \frac{4 \cdot 1^{1,5}}{3} - 6 \cdot 1^{0,5}) =[/m]
[m]= \frac{2 \cdot 2^7}{7} + \frac{4 \cdot 2^3}{3} - 6 \cdot 2 - \frac{2}{7} - \frac{4}{3} + 6 =\frac{256}{7} + \frac{32}{3} - 12 - \frac{2}{7} - \frac{4}{3} + 6 = \frac{254}{7} + \frac{28}{3} - 6 =[/m]
[m]= 36 + \frac{2}{7} + 9 + \frac{1}{3} - 6 = 39 + \frac{6}{21} + \frac{7}{21} = 39 \frac{13}{21}[/m]

2) [m]\int \limits_0^{0,5} \frac{x^2 dx}{\sqrt{1-x^3}} [/m]
Замена 1 - x^3 = t, dt = -3x^2 dx, тогда x^2 dx = -1/3 dt
Пределы интегрирования: t(0) = 1 - 0^3 = 1; t(0,5) = 1 - (1/2)^3 = 1 - 1/8 = 7/8
[m]\int \limits_0^{0,5} \frac{x^2 dx}{\sqrt{1-x^3}} = -\frac{1}{3} \int \limits_1^{7/8} \frac{dt}{\sqrt{t}}=[/m]
Пределы интегрирования непривычно поставлены: большой внизу, а маленький вверху.
Если поменять местами пределы, то поменяется знак перед интегралом.
[m]= \frac{1}{3} \int \limits_{7/8}^1 t^{-0,5} dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{0,5}}{0,5} \bigg |_{7/8}^1 = \frac{2}{3} \cdot t^{0,5} \bigg |_{7/8}^1 = \frac{2}{3} (\sqrt{1} - \sqrt{\frac{7}{8}}) = \frac{2}{3} (1 - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{16}}) =[/m]
[m]= \frac{2}{3} (1 - \frac{\sqrt{14}}{4}) = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{14}}{6} = \frac{4 - \sqrt{14}}{6}[/m]

3) [m]\int \limits_0^1 arctg\ x\ dx = x \cdot arctg\ x - \frac{1}{2} \ln |1 + x^2| \bigg |_0^1 =[/m]
[m]= (1 \cdot arctg\ 1 - \frac{1}{2} \ln |1 + 1^2|) - (0 \cdot arctg\ 0 - \frac{1}{2} \ln |1 + 0^2|) =[/m]
[m]= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 - 0 - \frac{1}{2} \ln 1 = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2} = \frac{\pi - 2\ln 2}{4} = \frac{\pi - \ln 4}{4}[/m]

Я этот интеграл взял из таблицы готовых интегралов.
На всякий случай решу его по частям. Вдруг с вас потребуют.
[m]\int arctg\ x\ dx = \bigg | u = arctg\ x\,\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{1 + x^2},\ v = x \bigg | =[/m]
[m]= x \cdot arctg\ x - \int \frac{x dx}{1 + x^2} = \bigg | 1 + x^2 = t,\ dt = 2x dx,\ x dx = \frac{1}{2}dt \bigg |=[/m]
[m]= x \cdot arctg\ x - \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = x \cdot arctg\ x - \frac{1}{2} \ln |t| = x \cdot arctg\ x - \frac{1}{2} \ln |1 + x^2|[/m]