Задача 80874 Известно, что a=5 b=13 Решить и...
Условие
Решить и построить график
Решение
⎧ 0 , x ≤ 4
F(x) = ⎨ 4 A x² – B , 4 < x ≤ 8 (1)
⎩ 1 , x > 8
должна удовлетворять двум условиям непрерывной НРСВ:
1. F(4)=0 ; 2. F(8)=1 .
Найдём A и B.
1. F(4)=0 ⇒ 4A·4² – B = 0 ⇒ 64A – B = 0 . (2)
2. F(8)=1 ⇒ 4A·8² – B = 1 ⇒ 256A – B = 1 . (3)
Вычитаем (2) из (3):
(256A – B) – (64A – B) = 1
192A = 1 ⇒ A = 1/192 .
Подставляем в (2):
64·(1/192) – B = 0 ⇒ B = 64/192 = 1/3 .
Итак A = 1/192 , B = 1/3 .
------------------------------------------------------------
Плотность распределения
f(x)=F´(x)
f(x)=⎧ 0 , x < 4
⎨ d/dx(4Ax² – B)=8Ax = 8·(1/192)·x = x/24 , 4 < x < 8
⎩ 0 , x > 8 .
График f(x) ‑ это отрезок прямой, растущий от f(4)=4/24=1/6 до f(8)=8/24=1/3,
а вне интервала (4;8) плотность равна нулю.
------------------------------------------------------------
Математическое ожидание
M(X)=∫₄⁸ x·f(x) dx = ∫₄⁸ x·(x/24) dx = ∫₄⁸ x²/24 dx
= (1/24)·[x³/3]₄⁸ = (1/72)(8³–4³)
= (1/72)(512–64)=448/72=56/9 ≈ 6.222.
------------------------------------------------------------
Второй момент
E[X²]=∫₄⁸ x²·f(x) dx = ∫₄⁸ x²·(x/24) dx = ∫₄⁸ x³/24 dx
= (1/24)·[x⁴/4]₄⁸ = (1/96)(8⁴–4⁴)
= (1/96)(4096–256)=3840/96=40.
------------------------------------------------------------
Дисперсия
D(X)=E[X²]–(M(X))² = 40 – (56/9)²
= 40 – 3136/81 = (3240–3136)/81 = 104/81 ≈ 1.284.
σ = √D(X) ≈ 1.133.
------------------------------------------------------------
Вероятность P(a < X < b) при a = 5, b = 13
Поскольку всё распределение сосредоточено на (4;8),
P(5 < X < 13)=P(5 < X ≤ 8)=F(8) – F(5).
F(5)=4A·5² – B = 4·(1/192)·25 – 1/3
= 100/192 – 64/192 = 36/192 = 3/16.
Следовательно
P(5 < X < 13)=1 – 3/16 = 13/16 = 0.8125.
------------------------------------------------------------
Краткое резюме
A = 1/192, B = 1/3
f(x)=0, x<4; f(x)=x/24, 4<x<8; f(x)=0, x>8
M(X)=56/9 ≈ 6.222
D(X)=104/81 ≈ 1.284
P(5<X<13)=13/16 = 0.8125
------------------------------------------------------------
Эскиз графиков
• F(x):
– горизонтальная линия F=0 до x=4;
– парабола 4Ax²–B ( возрастает от 0 до 1 ) на [4;8];
– горизонтальная линия F=1 при x>8.
• f(x):
– 0 до x=4;
– прямая x/24 (значения 1/6…1/3) на (4;8);
– 0 после x=8.
Для построения в Python:
```python
import numpy as np, matplotlib.pyplot as plt
A, B = 1/192, 1/3
x = np.linspace(0,12,400)
F = np.piecewise(x,
[x<=4, (x>4)&(x<=8), x>8],
[0, lambda t: 4*A*t**2 - B, 1])
f = np.piecewise(x,
[x<=4, (x>4)&(x<8), x>=8],
[0, lambda t: t/24, 0])
plt.subplot(2,1,1); plt.plot(x,F); plt.title('F(x)')
plt.subplot(2,1,2); plt.plot(x,f); plt.title('f(x)')
plt.tight_layout(); plt.show()
```
Графики подтвердят получённые аналитические результаты.