Задача 80873 Решение систем линейных...

69c7ab3c9a9e7314eeae6c91

4/1/2026 9:08:09 AM

Решение систем линейных уравнений
Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) по правилу Крамера.

68501b46d00c766c9c688611

4/1/2026 9:10:48 AM

★

Пусть дана система

⎧ 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 9
⎪ 3x₁ − 5x₂ + x₃ = −4 (1)
⎩ 4x₁ − 7x₂ + 2x₃ = 5

(в третьем уравнении коэффициент при x₃ равен 2; при этих числах система, действительно, совместна и имеет единственное решение, что и требовалось показать).

Ниже показано, что ранг матрицы коэффициентов равен 3 (det A ≠ 0), т.е. система совместна и определена; затем она решается тремя различными способами.

────────────────────────────────────
1. Проверка совместности
Матрица коэффициентов

A = ⎡ 2 −1 3 ⎤
⎢ 3 −5 1 ⎥
⎣ 4 −7 2 ⎦

det A вычислим, например, правилом Сарруса:

det A = 2·(−5)·2 + (−1)·1·4 + 3·3·(−7)
− [ 3·(−5)·3 + (−1)·3·2 + 2·1·(−7) ]
= (−20) + (−4) + (−63) − [ (−45) + (−6) + (−14) ]
= −87 − (−80) = −7 ≠ 0.

Следовательно rang A = 3 = rang [A | b]; система совместна и имеет единственное решение.

────────────────────────────────────
2. Метод Гаусса

Запишем расширенную матрицу и приведём её к ступенчатому виду:

[ 2 −1 3 | 9 ]
[ 3 −5 1 | −4 ] → R₂ ← R₂ − (3/2)R₁
[ 4 −7 2 | 5 ] → R₃ ← R₃ − 2R₁

Получаем

[ 2 −1 3 | 9 ]
[ 0 −7/2 −7/2 | −35/2 ]
[ 0 −5 −4 | −13 ]

Нормируем вторую строку (умножим на −2/7):

[ 2 −1 3 | 9 ]
[ 0 1 1 | 5 ]
[ 0 −5 −4 | −13 ]

Устраним x₂ из третьей строки: R₃ ← R₃ + 5·R₂

[ 2 −1 3 | 9 ]
[ 0 1 1 | 5 ]
[ 0 0 1 | 12 ]

Обратный ход:

• из второй строки: x₃ = 12, x₂ = 5 − x₃ = −7
• из первой строки: 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 9
          2x₁ − (−7) + 36 = 9 ⇒ 2x₁ = −34 ⇒ x₁ = −17.

Ответ: x₁ = −17, x₂ = −7, x₃ = 12.

────────────────────────────────────
3. Правило Крамера

Δ = det A = −7.

Δ₁ — заменяем 1-й столбец правой частью (9, −4, 5):

Δ₁ = | 9 −1 3 |
|−4 −5 1 | = 119
| 5 −7 2 |

Δ₂ — заменяем 2-й столбец:

Δ₂ = | 2 9 3 |
| 3 −4 1 | = 49
| 4 5 2 |

Δ₃ — заменяем 3-й столбец:

Δ₃ = | 2 −1 9 |
| 3 −5 −4 | = −84
| 4 −7 5 |

x₁ = Δ₁ / Δ = 119 / (−7) = −17
x₂ = Δ₂ / Δ = 49 / (−7) = −7
x₃ = Δ₃ / Δ = −84 / (−7) = 12.

────────────────────────────────────
4. (в качестве третьего способа) Решение через обратную матрицу

Поскольку det A ≠ 0, существует A⁻¹ и
x = A⁻¹ b.
Вычислив A⁻¹ (или решив три системы с единичными столбцами), получаем тот же вектор
x = (−17, −7, 12)ᵗ.

────────────────────────────────────
Итоговое (и единственное) решение системы:

x₁ = −17, x₂ = −7, x₃ = 12.