Задача 80871 Вычислить площадь фигуры, ограниченной...
Условие
у=х3, у=1, х=-2
Решение
График показан на рисунке. Площадь закрашена салатовым цветом.
Точки пересечения двух прямых и кубической параболы:
(-2; -8); (-2; 1); (1; 1).
Чтобы найти площадь, нужно вычислить интеграл на отрезке [-2; 1]
[m]S = \int_{-2}^1 (1 - x^3) dx = x - \frac{x^4}{4} \Big |_{-2}^1 =[/m]
[m]= (1 - \frac{1^4}{4}) - (-2 - \frac{(-2)^4}{4}) = 1 - \frac{1}{4} + 2 + \frac{16}{4} =[/m]
[m]= \frac{3}{4} + 2 + 4 = 6 \frac{3}{4} = 6,75[/m]
Ответ: 6,75
Все решения
Пересечение кривых y = x³ и y = 1:
x³ = 1 ⇒ x = 1.
Таким образом, между х = –2 (заданная прямая) и х = 1 кубическая кривая лежит ниже горизонтали y = 1 (-8 ≤ x³ ≤ 1).
Следовательно, ограниченная область – это «лента» между линиями y = 1 (сверху) и y = x³ (снизу) при –2 ≤ x ≤ 1.
2. Записываем выражение для площади
S = ∫(верхняя ‑ нижняя) dx = ∫_{-2}^{1} (1 – x³) dx.
3. Вычисляем интеграл
∫ (1 – x³) dx = x – x⁴/4 + C.
S = [x – x⁴/4]_{-2}^{1}
= (1 – 1/4) – [-2 – (-2)⁴/4]
= (3/4) – [-2 – 16/4]
= 3/4 – (-2 – 4)
= 3/4 – (-6)
= 3/4 + 6
= 27/4.
4. Ответ
Площадь искомой фигуры равна 27/4 (или 6.75) квадратных единиц.