Задача 80854 ...

69b7d90cd6897b25caf3b79a

3/16/2026 10:19:27 AM

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U0sin(ω·t + φ), где t – время в секундах, амплитуда U0 = 10 B, частота ω = 120 º/с, фаза φ = 30º. Датчик настроен так, что если напряжение в нем не ниже чем 5 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

626fab9a354ab65fb2f43abb

3/16/2026 6:17:04 PM

★

По сути задание вот какое:
Есть формула напряжения на датчике:
U = U0*sin (ω*t + φ)
Известно, что:
U0 = 10 В, ω = 120°/c = 4π/6 рад/с, φ = 30° = π/6 рад.
Также известно, что лампочка горит, если U ≥ 5 В.
Вопрос: Сколько времени лампочка будет гореть на протяжении первой секунды?

Подставляем данные, получаем неравенство:
10*sin (4π/6*t + π/6) ≥ 5
sin (4π/6*t + π/6) ≥ 1/2
Сделаем замену x = 4π/6*t + π/6
sin x ≥ 1/2
Решение этого неравенства показано на рисунке красной дугой.
x ∈ (π/6 + 2π*k; 5π/6 + 2π*k), k ∈ Z
Делаем обратную замену:
4π/6*t + π/6 ∈ (π/6 + 2π*k; 5π/6 + 2π*k), k ∈ Z
Вычитаем π/6 везде:
4π/6*t ∈ (2π*k; 4π/6 + 2π*k), k ∈ Z
Делим всё на 4π/6:
t ∈ (12/4*k; 1 + 12/4*k), k ∈ Z
Получаем:
t ∈ (3k; 1 + 3k), k ∈ Z
Вопрос: Сколько времени лампочка будет гореть на протяжении первой секунды?
Первая секунда - это при k = 0.
t ∈ (3*0; 1 + 3*0)
t ∈ (0; 1)
Ответ: лампочка будет гореть ВСЮ первую секунду.