Задача 80853 1. Дан прямоугольный параллелепипед....
Условие
2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2см, 4см. Диагональ параллелепипеда равна 3sqrt(5) * cM Найдите длину третьего ребра параллелепипеда.
3. Ортогональной проекцией треугольника, площадь которого 36c * n ^ 2 является треугольник со сторонами 8 см, 5 см и 9 см. Найдите косинус угла между плоскостью треугольника и плоскостью его проекции. 121 [31
4. Изобразите точку A(2; 3; 4) в прямоугольной системе координат.
5. На рисунке изображена пространственная фигура ABCDEFMN, Oснованием которой является прямоугольник ABCD со сторонами 7см и 4 см. Вертикальные ребра ДЕ и СП имеют длину 3см и бем соответственно. Единичные векторы vec Gamma ,k^ параллельны AB, AD и AF соответственно.
To
а) Найдите координаты точек М, С и Е.
b) Выразите каждый из векторов vec MC H vec ME через vec Gamma ; vec J ;k^ .
(2)
6. Три вершины параллелограмма ABCD заданы точками A(3; 3; - 4) B(- 3; 5; 7) C(- 3; - 3; 2)
а) Найдите координаты вершины Д.
b) Найдите длину векторов vec BD H vec AC
7. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин
A(2; 3; 2) B(- 6; 1; 2) C(- 4; - 1; 4)
Решение
Каждое ребро образует двугранный угол.
Ответ: [b]12[/b]
2) Диагональ прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:
d^2 = a^2 + b^2 + c^2
Подставляем известные величины:
(3sqrt(5))^2 = 3^2 + 4^2 + c^2
9*5 = 9 + 16 + c^2
c^2 + 25 = 45
c^2 = 20
с = sqrt(20) = 2sqrt(5) см.
Ответ: [b]2sqrt(5) см.[/b]
3) Треугольник со сторонами 8, 5 и 9 см, имеет площадь по формуле Герона:
p = (a + b + c)/2 = (8 + 5 + 9)/2 = 22/2 = 11
S(пр) = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = sqrt(11(11-8)(11-5)(11-9)) = sqrt(11*3*6*2) = 6sqrt(11) см^2
Площадь заданного треугольника:
S(тр) = 36 см^2
Косинус угла между плоскостью треугольника и плоскостью его ортогональной проекции можно найти по формуле:
cos φ = S(пр)/S(тр) = 6sqrt(11) / 36 = sqrt(11)/6
Ответ: [b]cos φ = sqrt(11)/6[/b]
4) Это, прошу, сами нарисуйте.
Отложите по оси Ox 2 единицы, по оси Oy 3 единицы, по оси Oz - 4 единицы.
5) Не могу решить, нет рисунка.
6) A(3; 3; – 4) B(– 3; 5; 7) C(– 3; – 3; 2).
a) Найти координаты вершины D параллелограмма.
Смещение точки D относительно точки A будет таким же, как смещение
точки C относительно точки B.
Смещение точки C относительно точки B: (-3+3; -3-5; 2-7) = (0; -8; -5)
Координаты точки D: (3 + 0; 3 - 8; -4 - 5) = (3; -5; -9)
b) |BD| = sqrt((3+3)^2 + (-5-5)^2 + (-9-7)^2) = sqrt(6^2 + (-10)^2 + (-16)^2) =
= sqrt(36 + 100 + 256) = sqrt(392) = sqrt(4*49*2) = 14sqrt(2) см
|AC| = sqrt((-3-3)^2 + (-3-3)^2 + (2+4)^2) = sqrt((-6)^2 + (-6)^2 + 6^2) = sqrt(36*3) = 6sqrt(3) см
Ответ:[b] |BD| = 14sqrt(2) см; |AC| = 6sqrt(3) см.[/b]
7) A(2; 3; 2) B(– 6; 1; 2) C(– 4; – 1; 4)
Медиана AM приходит в точку M - середину отрезка BC
[m]\large M = (\frac{-4-6}{2}; \frac{-1+1}{2}; \frac{4+2}{2}) = (-\frac{10}{2}; \frac{0}{2}; \frac{6}{2}) = (-5; 0; 3)[/m]
Уравнение прямой AM по двум точкам:
[m]\large (AM): \frac{x+5}{2+5} = \frac{y-0}{3-0} = \frac{z-3}{2-3} [/m]
[m]\large (AM): \frac{x+5}{7} = \frac{y}{3} = \frac{z-3}{-1} [/m]
Медиана BN приходит в точку N - середину отрезка AC
[m]\large N = (\frac{-4+2}{2}; \frac{-1+3}{2}; \frac{4+2}{2}) = (-\frac{2}{2}; \frac{2}{2}; \frac{6}{2}) = (-1; 1; 3)[/m]
Уравнение прямой BN по двум точкам:
[m]\large (BN): \frac{x+1}{-6+1} = \frac{y-1}{1-1} = \frac{z-3}{2-3} [/m]
[m]\large (BN): \frac{x+1}{-5} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-3}{-1} [/m]
Знаменатель 0 в данном случае законный, он означает, что медиана BN находится в плоскости y = 1, то есть параллельна плоскости xOz.
Теперь нам нужно найти точку пересечения прямых AM и BN.
Координату y мы уже знаем из прямой BN: [b]y = 1[/b]. Найдем x и z.
[m]\large \begin{cases}
\frac{x+5}{7} = \frac{z-3}{-1} \\
\frac{x+1}{-5} = \frac{z-3}{-1} \\
\end{cases}[/m]
Правые части одинаковы, можно приравнять друг к другу левые части и найти x.
Но это будет частное решение. А я дам общее решение, подходящее в любой ситуации.
Раскрываем пропорции:
{ -1(x + 5) = 7(z - 3)
{ -1(x + 1) = -5(z - 3)
Раскрываем скобки:
{ -x - 5 = 7z - 21
{ -x - 1 = -5z + 15
Переносим z налево, а числа направо:
{ -x - 7z = -16
{ -x + 5z = 16
Умножаем 1 уравнение на -1:
{ x + 7z = 16
{ -x + 5z = 16
Складываем уравнения:
12z = 32
z = 32/12 = 8/3
x = 16 - 7z = 16 - 7*8/3 = (48 - 56)/3 = -8/3
Ответ: Координаты точки пересечения медиан: [b]O(-8/3; 1; 8/3)[/b]