Задача 80850 точка s равноудалена от всех вершин...

693923d8a0211e4a1fadcfe5

3/16/2026 7:00:24 PM

точка s равноудалена от всех вершин правильного треугольника авс со стороной 6 см. Расстояние от точки s до плоскости треугольника равно 3 см. доказать, что проекция s на плоскость авс совпадает с центром треугольника о. Найти расстояние от точки s до сторон треугольника. Найти угол между плоскостью треугольника abc и наклонной SA

68501b46d00c766c9c688611

3/16/2026 8:16:15 PM

★

Пусть АВC – правильный треугольник, a = АВ = ВС = СА = 6 см,
S – точка пространства, для которой

SA = SB = SC  и ρ(S, π(АВС)) = 3 см,

где ρ(S, π(АВС)) – расстояние от S до плоскости треугольника.
Ниже ‑ доказательство и искомые величины.

1. Проекция S на плоскость треугольника

• Из равенств SA = SB и SA = SC следует, что S лежит одновременно в
плоскостях серединных перпендикуляров к отрезкам AB и AC.
• Пересечение этих двух плоскостей – это прямая, проходящая через
точку О (точку пересечения серединных перпендикуляров в самой
плоскости АВС, т.е. центр описанной окружности треугольника) и
перпендикулярная к плоскости АВС.
• Следовательно, S принадлежит этой оси, а её ортогональная проекция на
плоскость АВС совпадает с точкой О.

Итак, проекция S на плоскость АВС – центр треугольника О
(он же центр описанной окружности, инцентр и центр тяжести
правильного треугольника).

2. Длина отрезка SA

OA = R – радиус описанной окружности правильного треугольника
R = a / √3 = 6 / √3 = 2√3 см.

OS = ρ(S, π(АВС)) = 3 см (по условию).

В прямоугольном треугольнике SAO:

SA² = OS² + OA² ⇒ SA = √(3² + (2√3)²) = √(9 + 12) = √21 см.

3. Расстояние от S до каждой стороны треугольника

Pусть Н – проекция точки S на сторону AB.
Тогда ON – расстояние от центра треугольника до стороны AB, т.е. его
инрадиус:

ON = r = a√3 / 6 = 6√3 / 6 = √3 см.

Векторы OS (перпендикуляр к плоскости) и ON (лежит в плоскости)
перпендикулярны, поэтому

SH² = OS² + ON² = 3² + (√3)² = 9 + 3 = 12
⇒ SH = 2√3 см.

Из-за симметрии то же расстояние получаем до сторон BC и CA.

Ответ: ρ(S, AB) = ρ(S, BC) = ρ(S, CA) = 2√3 см.

4. Угол между плоскостью АВС и прямой SA

Пусть β – искомый угол (угол наклона прямой к плоскости).
По определению:

sin β = (перпендикулярная к плоскости составляющая) / (длина
самой прямой) = OS / SA = 3 / √21;

или, что эквивалентно,
tan β = OS / OA = 3 / (2√3) = √3 / 2.

Отсюда

β = arctan(√3 / 2) ≈ 40.9°.

Итоги

• проекция S на плоскость АВС – точка O;
• SA = SB = SC = √21 см;
• расстояние от S до каждой стороны треугольника равно 2√3 см;
• угол между SA и плоскостью АВС: β = arctan(√3 / 2)
(sin β = 3 / √21, β ≈ 41°).