Задача 80841 Вычислить: sin5x*cos3x*sinx=...
Условие
Решение
Есть формула:
[m]\sin a \cdot \cos b = \frac{1}{2} \cdot (\sin (a-b) + \sin (a+b))[/m]
В нашем случае:
[m]\sin 5x \cdot \cos 3x \cdot \sin x = \frac{1}{2} \cdot (\sin (5x-3x) + \sin (5x+3x)) \cdot \sin x = [/m]
[m]= \frac{1}{2} \cdot \sin x \cdot (\sin 2x + \sin 8x) [/m]
Можно остановиться на этом, здесь одни синусы, а можно пойти дальше и выразить всё выражение только через [b]sin x[/b] и [b]cos x[/b].
[m]\frac{1}{2} \cdot \sin x \cdot (\sin 2x + \sin 8x)= \frac{1}{2} \cdot \sin x \cdot (2 \sin x \cos x + 2 \sin 4x \cos 4x) =[/m]
[m]= \sin x \cdot (\sin x \cos x + \sin 4x \cos 4x) = \sin x \cdot (\sin x \cos x + 2 \sin 2x \cos 2x \cos 4x) =[/m]
[m]= \sin x \cdot (\sin x \cos x + 4 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x) = [/m]
[m]= \sin^2 x \cos x (1 + 4 \cos 2x \cos 4x) = \sin^2 x \cos x (1 + 4 \cos 2x (2 \cos^2 2x - 1)) = [/m]
[m]= \sin^2 x \cos x (1+8\cos^3 2x - 4\cos 2x) =[/m]
[m]= \sin^2 x \cos x (1+8\cos^3 2x - 4(2 \cos^2 x - 1)) = [/m]
[m]= \sin^2 x \cos x (1+8\cos^3 2x - 8\cos^2 x + 4) =\sin^2 x \cos x (8\cos^3 2x - 8\cos^2 x + 5)=[/m]
[m]= \sin^2 x \cos x (8(2 \cos^2 x - 1)^3 - 8\cos^2 x + 5)[/m]
Получили:
[m]\sin 5x \cdot \cos 3x \cdot \sin x = \sin^2 x \cos x (8(2 \cos^2 x - 1)^3 - 8\cos^2 x + 5)[/m]
Сделал всё, что смог. Можно, конечно, ещё куб раскрыть, но это уже усложнение.